Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9 4 ГЛАВА V

(Воспользуйтесь

упр. 1 гл. I I I на стр. 5 5 — 5 6 . )

11.

Пусть fn (п—\, 2, . . . ) —непрерывные

и равно­

мерно

ограниченные

функции на прямой, ап — комплек-

 

 

со

 

сные

числа, такие,

что 2 l a n l 2 < ° ° - Далее,

пусть F —

 

 

1

 

случайная функция, определенная п. н. почти всюду

со

равенством F(t) = 2e„a„f„(/), где е,, е2 , . . . . е„, . . . —

1

последовательность Радемахера. Докажите, что функ­ ция exp(A.|F|2 ) п. н. суммируема на всяком ограничен­ ном интервале при любом Я. > 0.

(Воспользуйтесь доказательством предложения 10.) 12. Можно ли всюду в этой главе вместо рядов (1),

 

 

 

 

 

 

оо

оо

 

(2)

и (3) рассматривать

ряды

2 Zneint,

2 е„^„е'л / и

оо

 

 

 

 

 

— оо

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

гпе2л1апеш

(Z„ — независимые

симметрические

ком-

— со

 

 

 

 

 

 

 

плексные случайные величины,

{е„} — последовательно-

ность Радемахера,

а {©„} — последовательность

Штейн-

гауза)? Проверьте,

что все результаты остаются

в силе

и

приведите

упрощенные

доказательства.

 

 

 

(Можно не опираться

на предложение 4 и сократить

доказательства предложений

8 и 15.)

 

 

 

13. Пусть

А — линейное

отображение

пространства

всех комплексных тригонометрических полиномов Р в Р.

Если

заданы

1

^ оо,

1 ^

g ^ оо, то говорят, что А

имеет

тип

(р, q),

если

нормы

ЦЛ/Ц, ограничены при

f с= Р

и Ц / l l p ^ l .

Точная верхняя грань этих норм

обозначается

через | | Л | | Р | д . Кроме

того, говорят, что А

имеет

слабый

тип (р, q),

если

точная

верхняя грань

 

 

 

sup^mes{/|| Af{t)

\>

х}

ограничена

при /

Е Р И | | / | | Р ^ 1 .

ЕСЛИ норма || A ||PiP

ограничена

при р - > 1 , то А,

очевидно, имеет тип (1, 1).

Докажите,

что если задана

произвольная функция ср(р)

(1 < р < 2),

такая,

что limcp(p) =

oo, то найдется такое

Р-Н

 

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

 

96

отображение

А, что

 

 

 

M I L « < I M I I P . 2 < < P ( / > )

( К р < 1 + е )

 

и Л не имеет слабый тип (1,1).

 

 

 

(Возьмите

в качестве А свертку, задаваемую

рядом

сю

оо

 

 

 

2 в „ а „ в " » ' , где Ц а £ = °°, 2 1 а„ Г <1 Ф(Р) Г с

г=2р/(2-р)

ипримените предложение 8.)

14.Сформулируйте и докажите принцип, подобный следующему: если ряд (1) п. н. представляет случайную функцию F, которая где-либо обладает хорошим свой­ ством, то F почти наверное обладает этим хорошим свойством всюду (этим хорошим свойством может быть ограниченность, непрерывность, дифференцируемость,

аналитичность

и

т. д.; слова «где-либо» означают

«на некотором

интервале»).

(Воспользуйтесь

методом гл. IV; см. стр. 61—63.)

Г л а в а VI

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ

I

1. Введение

Нашей ближайшей целью является получение оценки £°°-нормы случайных тригонометрических полиномов

 

 

 

N

 

 

 

 

^ (0 =

S

en an cos (nt + <р„),

 

 

 

о

*

 

где

е ь

е„,

последовательность Радемахера.

Эта

норма

M =

\\P\L =

sup\P(t)\

 

 

является случайной величиной. Основной результат, принадлежащий Салему и Зигмунду, заключается в том, что вероятность

 

p ( M < * ( 2 4 i o g A 0 , / 2 )

 

 

близка к 1, если % или

N велики.

 

 

Этот результат

имеет

несколько приложений, и

мы

воспользуемся

им

в конце книги. Важным является и

простейшее следствие: если заданы комплексные числа

си

с 2. • • •> сп> • • - I

то

существует

такой

набор знаков

+

 

 

 

N

 

 

 

и —, что /,°°-норма

полинома 2

± спеш

не превосходит

/ N

у/2

 

'

 

 

 

C(vSl °п f log N) , где С — абсолютная постоянная.

Для дальнейших приложений нужны более общие результаты. Вместо последовательности Радемахера е„ мы рассмотрим последовательность независимых дей­ ствительных случайных величин |„, удовлетворяющих условию

S (вч «) < еЩ2

( - оо < А < оо).

(1)

 

ГРАНИЦА для ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

полиномов

97

Если

в

(1)

имеет

место

равенство,

то

называется

гауссовской

нормальной

величиной.

Если выполняется (1),

то мы

называем

|„

субнормальной

 

величиной.

 

Напри­

мер,

последовательность

Радемахера

е„ является

суб­

нормальной,

так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~{е%

+

 

е-х)^е%712.

 

 

 

 

 

Некоторые свойства

субнормальных величин

даются

в упр. 8 и 9. Последовательность

независимых

субнор­

мальных величин

будет

называться

субнормальной

по­

следовательностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы

оценим L°°-HOpMy конечной

суммы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рп = =

2

£п/п>

 

 

 

 

 

 

 

где /„, например,

являются

тригонометрическими

поли­

номами

порядка

 

одного или нескольких

перемен­

ных. Эти результаты содержатся в п. 2.

 

 

 

 

Другие

пункты

посвящены

некоторым

 

приложе­

ниям: множествам Си'дона, множествам Хелсона, обоб­ щенным почти периодическим функциям. Тем не менее основные приложения находятся в гл. V I I .

2. Распределение М = \]Р\\а)

Все оценки, которые нам будут необходимы, выте­ кают из следующей теоремы.

Т е о р е м а

1. Пусть Е — пространство с

положитель­

ной мерой

и. и

ц. (Е) < со.

Пусть

В — линейное

прост­

ранство измеримых

ограниченных

функций

на Е,

замк­

нутое относительно

комплексного

 

сопряжения.

Далее,

предположим,

что

существует

р > 0 со

следующим

свойствоА:

если

f е

В

и

f

действительна,

то найдется

измеримое

множество

/ =

/(/) cr Е,

такое,

что ц (I) ^

>(1/р)ц.(£)

и

\f(t)\>l/2\\f\\oo

 

для

/ е / .

Рассмотрим

случайную

конечную

 

сумму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р =

 

1>Ып,

 

 

 

4 Ж.-П. Кахан

98 ГЛАВА VI

где

In — субнормальная

последовательность,

a fn

е

В.

Тогда

 

 

 

 

 

 

Р (II Р I L > з ( 2 I I U HL log

(2 Р х)) , / 2 ) <

|

 

(2)

при

всех к > 2.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сначала

предположим,

что

fn

действительны и введем обозначения т = 2 I I fn И2»» М —

= | | P L . Имеем

 

 

% (екр <") = ^ ( П ^ " f

" ( < > ) = П S

(e4»fntf))

и так как |„ субнормальна, то

 

Не ограничивая общности,

мы можем

предположить,

что

ц.(£')= 1. Существует случайное

множество /, такое,

что

f i ( / ) > l / p и Р ( 0 > М / 2 или

— P(/)>Af/2 на /.

Следовательно,

 

Это неравенство дает хорошую информацию о распре­ делении М. Запишем его в виде

Ж (ехр \ (М - Яг - | log (2рх))) < 1 .

Получим

Р [М > Яг + | log (2рк))<-1-.

Выбирая Я = [(1/г)^(2ри)] 1 / 2 , имеем

P ( M > 3 ( r l o g ( 2 p x ) ) , / 2 ) < i

 

 

ГРАНИЦА

ДЛЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

п о л и н о м о в

 

99

Если

же

/„

комплексны,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (II Re Р L

>

3 ( 2 1 | Re fn

|g. l o g (2рк))'/ 2 ) <

1 ,

 

 

 

P (|| Im P t

>

3 ( J

|| Im /„ |£, l o g

(2px)),/2) <

- i

,

что доказывает неравенство (2).

 

 

 

 

 

 

 

Мы будем пользоваться следующими двумя частными

случаями

теоремы

1. Пусть сначала Е есть окружность,

а

В — множество

всех

тригонометрических

полиномов

порядка ^JV. Согласно предложению

5

гл.

V (см.

стр. 75),

предположения

теоремы

1 выполняются с р

=

— 2nN2. Поэтому

справедлива

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2.

Рассмотрим

случайный

тригонометри­

ческий

полином

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(t)

=

I1lnfn(t),

 

 

 

 

 

где

fn

— действительные

или

комплексные

 

тригономе­

трические

полиномы

порядка

^

N,

|„ —

субнормальная

последовательность,

а 2 —

конечная

сумма.

Тогда

имеем

 

 

 

Р

(II Р I L

> с ( 2 I I fn И b g

м)т)

<

^

,

 

 

где

С — некоторая

 

абсолютная

 

постоянная.

 

 

 

 

Теперь

возьмем

в качестве

Е

тор размерности

s,

а в качестве В — множество

всех комплексных

тригоно­

метрических

полиномов

 

 

 

 

 

 

р

h, ...,

ts)

= Zi Cnv n2

nse

v 1 1

2 2

 

5 s ; ,

таких,

что

sup

(| /г, | - f | n21 +

. . .

+ 1 ns |)<

N.

Удобно

считать порядком полинома Р

число sup (| /г, | +

| п2

| + ...

• • • + l " s l ) -

Нам

понадобится следующее

обобщение

предложения 5 гл. V.

 

 

 

 

 

 

Л е м м а .

Если

полином p(tu

t2,

. . . ,

^s) действителен и

принадлежит

В, то существует

s-мерный

куб

объема

N~2s,

на котором

\p{t{,

t2

ts)\>\\\P\L-

 

 

 

4*

Смотрите также файлы