Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

104 ГЛАВА Vt

Если

ип

(п е

Z) — почти

периодическая

последователь-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

ность,

то

средние

значения

2 v ^ {

une~ian

 

сходятся

 

v ->oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H+V

 

 

 

при

и,

кроме

того,

средние (1/v) 2

V

t

e

схо-

дятся

при

v ->oo

 

 

 

 

 

 

 

 

n+i

 

 

 

равномерно относительно

ц. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

с (а) =

lim

g^py

J]

и я в - ' «

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— V

 

 

 

 

 

 

 

 

d (а) =

unif lim — V

ипе~1ап

(относительно

ц')).

(4)

 

 

 

 

 

V - > o o

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un

(n c= Z)

 

H+I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

почти

периодическая

последователь­

ность,

то

(3) и

(4)

имеют

смысл

при любом

а,

причем

с (а) =

d (а). Обратно,

если

ип

(л е

 

Z) -

такая

комплекс­

ная последовательность, что (3) имеет

смысл

при

любом

 

а, то мы будем говорить, что ип — обобщенная

почти

 

периодическая

последовательность

в

смысле

С.

Хартмана, или, короче,

Н. п. п.

последовательность;

если (4)

имеет

смысл при

всяком а, то ип

называется

обобщенной

почти

периодической

 

последовательностью

в смысле Рыль-Нарджевского, или, короче,

R. п. п.

последовательностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

ип

есть

 

R. п. п.

последовательность,

то

она

является

Н. п. п.

 

последовательностью

и

с(а) =

е?(а).

Кроме

того,

можно

доказать

следующее:

если

ип

есть

Н. п. п. последовательность, то множество таких а, при

которых с(а)Ф0,

не

более

чем счетно; оно называется

спектром

ип. Рассмотрим

теперь следующий

вопрос:

в какой

мере

с (а)

и d{a)

определяют последователь­

ность ыл?

Имеются

ли Н. п. п. или R. п. п.

последо­

вательности с пустым спектром? Результат является разочаровывающим: существует очень много таких последовательностей, а их абсолютные значения могут быть выбраны достаточно произвольно.

') Здесь unif lim... означает равномерный (относительно ц)

предел. — Прим. ред.

 

ГРАНИЦА ДЛЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

[Q5

Т е о р е м а

6.

Если

задана

комплексная

последова­

тельность

un

=

0(\n\a)

(n<=Z),

где а <

1/2,

то

случай­

ная

последовательность

 

впип

(п е

Z)

является

почти

наверное

 

Н. п. п.

последовательностью

с пустым

спек­

тром

(е„,

как обычно,

независимые

случайные

величины

Радемахера).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

задана

ограниченная

комплексная

последова­

тельность vn

(п e Z ) , то существует

такой набор в* = ± 1,

что е„ип

(п е

Z) является

R. п. п.

последовательностью

с пустым

спектром.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

п е р в о й

ч а с т и .

Согласно

теореме

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

sup

 

 

 

>С 2 l « „ | 2

l o g v

1/2'

< l / v

 

 

 

 

 

Следовательно,

по

лемме

Бореля — Кантелли

 

sup

| е А е " "

= 0 ^ 2 l « „ | 2 l o g v y j

( v ^ o o ) n . н.

Так как правая часть имеет порядок o(v), то почти наверное

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l / ( 2 v +

1) 2 е А е ' " ' =

о(1) для

каждого t,

 

 

 

а

это

и

есть

требуемое

заключение.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

в т о р о й

ч а с т и .

Для

 

упро­

щения

обозначений

предположим,

что о„ =

0

при

я — — 1,

—2,

. . . ; если мы

докажем

результат

в

этом

случае,

то

он

немедленно

будет

вытекать

отсюда

и

в

общем

случае

путем

разделения

последователь­

ности

vn

на две

части. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fun(t)

 

= vneint

 

(я = 0,

1,

2,

. . . ) ,

 

 

 

 

а

для

k =

2,

3,

. . . ,

я =

0,

1, 2, . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft, п '

 

ft-l, nk'+l-V

 

 

 

 

 

где знаки выбраны так, чтобы норма \\fk.n\L

имела

наименьшее из

возможных

значений,

причем

при

/ =

1

106 ГЛАВА VI

взят знак

+ . По индукции

 

 

 

 

 

 

 

 

(л+1) (ftl)3 -I

 

 

 

 

 

 

 

fk.n(t)=

2

±vmeimt,

 

 

 

 

 

 

т=п

 

 

 

 

 

и поэтому

имеем формальное разложение

 

 

 

 

 

S / t . B ( / ) = S ± o « e " " ' .

 

 

 

 

 

л=0

т = 0

 

 

 

 

 

Знаки

±

зависят от k, но так

как

fk.oit)

и

fk_uo(t)

имеют

одинаковые

коэффициенты

вплоть

до

т

=

= {(k — I)!)2 — 1, то

каждый знак

фиксирован,

если

k

достаточно велико. Обозначаем эти фиксированные зна­ ки через &*т. Таким образом, мы имеем формальное разложение

 

m=0

л=0

 

при каждом

k^2.

и определению fki n(t)

e~in^'',

Согласно

теореме 2

имеем

 

 

 

| / * . . K . < c » i o g w | i | f 4 _ l i l l J | I + 4 _ l L

а, следовательно, по

индукции

 

\\fk.n\L<(k\)3l2sup\vm\

= o((k\y-).

Рассмотрим среднее

значение

 

ii+i

Пусть k — наибольшее целое число, такое, что k (k\)2*^v,

и

пусть п,

и

п2

натуральные числа, ближайшие

к

(ц +

1)№)2

и

(и. +

v)/(£!)2 ,

а

 

 

 

 

 

л,

(ftl)'-t

 

 

 

 

 

л, (ftl)2

Тогда

имеем

 

 

 

 

 

 

| а ( ц , v ) - 6 ( | x ,

v ) i < ^ l < | ,

 

 

 

 

 

 

л . - l

*G*. v) = - i - 2 ± f * . B ( 0

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

107

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п,-1

 

 

 

 

I Ь ( ц ,

v) | <

1

2 | |

„

L =

о((кЩ

Поскольку

 

 

п=л .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ("2 - ".) ( ^ ) 2 < ~

(У + 2 (б!)2) <

,

то

v) =

o(l),

и

поэтому

a(fi, v) =

o(l) при v-*oo

равномерно относительно ц. Этим заканчивается дока­ зательство теоремы 6.

 

 

 

б.

Упражнения

 

 

 

 

1. Докажите,

что

множество

 

{46 }

( 6 = 1 ,

2,

. . . )

является

множеством

Сидона.

 

 

 

 

 

(Упр. 8, гл. V.)

 

 

 

 

 

 

 

2. Можно ли в теореме 5 заменить

logv на

co(v),

если ю (х) = о (log х) (* - > - оо)?

 

 

 

 

 

 

(Нет;

упр.

1.)

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Можно ли в теоремах

1, 2,

3

и 4 заменить

\ogN

на со (АО,

если

ш (х) =

о (log я)?

 

 

 

 

 

(Нет;

упр.

2.)

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Докажите,

что

множество

Сидона

не может со­

держать

сумму

двух

бесконечных

множеств

(Е + F

определяется

как

множество

точек

вида

х-\-у,

л е £ ,

(Воспользуйтесь теоремой

5.)

 

 

 

 

 

5. Рассмотрите случайный тригонометрический поли-

N

ном P(t) = 2о «n cos (nt + 2ncon), где ю„ — последовательность'Штейнгауза, ап^0. Докажите, что

p ( l l ' > I L > c ( ] g ^ i o g ^ ) l / 2 ) < 7 | 5 .

при некоторой абсолютной постоянной С.

( л = 1 , 2 , . . . )

108 ГЛАВА VI

(Доказательство

то

же, что и для

теоремы

1.)

 

6. Рассмотрите случайный полином Р(х) =

N

^1апепРп(х),

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где е„ — последовательность Радемахера, а „ ^ 0 , а Рп

—

полиномы

степени

 

Докажите, что

^

 

 

р

 

 

>1р {х) 1> с (2fl-log

<

 

при некоторой абсолютной постоянной С.

 

 

 

(Положите

* =

cos< и используйте

теорему

2.)

 

7.

Докажите,

что

теорема

6

не

имеет

места при

а =

1/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Если

I

субнормальна,

то

#(£) = 0 и

 

&(12)^.1.

(Воспользуйтесь

разложением

В(е%1)=

я 0

+ ci{X

+

+ a2A2 + о (А2),

Я,-*•().)

 

 

 

 

 

 

 

9. Предположим, что | — симметричная действитель­ ная случайная величина. Положим in2n = & Ц2п) и р. (х) =

— P(\i\^x). Докажите, что необходимыми условиями для того, чтобы | была субнормальна, являются условия

т 2 » < ( • £ • ) " ( 2 л ) ! и ( i W < 2 e - ^ ,

а достаточным является каждое из следующих условий:

m 2 „ < 1 • 3 • . . . • 2 л — 1

или

 

 

 

 

 

 

/ —

°°

 

 

( * > 0 ) .

 

 

 

 

 

и . ( * ) < - | / | J e - " J / 2 d «

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д:

 

 

 

 

 

 

10. Будем говорить,

что X

является субгауссовской

случайной величиной, если <S {ехх)

^

e x V / 2 ( — со <

% < оо)

при

 

некотором

т >

0,

и

что

X

 

центрирована,

если

l e i 1

(Q) и If(X) =

0.

Докажите

 

эквивалентность

сле­

дующих

предложений:

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

X

является

субгауссовской;

 

 

 

b)

X

центрирована

и

<§ (Х2п)

=

О (Кпп\) при

некото­

ром

К > 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

 

X

центрирована

и

Р (| X |<

х) — О {е~Ех7)

(х - * со)

при

некотором

е >

0.

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы