Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

Ю1

а сумма 2 конечна. Тогда имеем

Р ( I I Р I I . >

С (s 2 I I f„ \l

log W)"2) <

N-2e-s,

где С — некоторая

абсолютная

постоянная.

Т е о р е м а

4.

Если

заданы

комплексные

числа

Cnvn.2

ns,

где

мультииндекс

(пи

п2,

ns)

удовле­

творяет неравенству

К 1 + | л 2 1 + . . . + 1

то существует

такой

набор знаков

+

и —,

что

sup

2

± s

e / ( V i + - + V , ) | <

< C ( s 2 | c „ ,

nsflogN) 1/2

В

частности,

если заданы

N

комплексных

чисел

с,,

с2 ,

что

cNt

то

существует

набор

знаков +

и —,

такой,

41/2

sup

2

±

спе

< c ( S c « l o g ^ J '

Следовательно,

если

заданы

N

положительных

чисел

а,,

а2,

что

а^,

то существуют

фазы

<р,,

ф2 ,

ф„,

такие,

sup

N

JV

\l/2

2

а-п. cos (nt +

ф„)< C ( 2 J a * l o g t f j .

t

a)

если

на

Л

задана

функция

с (Я),

стремящаяся

к

нулю

при

Л,—>оо,

то

существует

такая

функция

f €

L 1

(0,

2я),

что

2л

о

b)

если

на

Л

задана

ограниченная

функция

с(Х),

то

существует

ограниченная

мера

d\a, такая, что

с(Х) =

2л

о

c)

если

L°°(0, 2я)

и

ряд

2

d(X)еш

является

рядом

Фурье

функции

g,

то

2

|d(A.)|<oo;

d) существует к >

0, такое, что для каждого тригоно­

метрического

полинома

р (t) =

2

d(X)eiU

имеем

2

\d(X)\<H\\p\L.

По поводу доказательства эквивалентности свойств а),

Ь), с), d) и других

интересных свойств множеств

Сидона

мы

отсылаем

читателя к книге Рудина [2] (см. стр.

120).

В качестве примера

рассмотрим

последовательность

по­

ложительных

целых

чисел

nh

таких,

что

inf я / +

1 / / г / > 1 -

Тогда

множество

Л =

{ ± я /

} ,

/ = 1 , 2 , . . .

является

множеством

Сидона;

мы

пользовались

этим

фактом

на стр. 80—81 (см.

также

упр.

8

к

гл. .V). Мы

дока­

Т е о р е м а

5.

Если

Л — множество

Сидона,

то

найдется

такое

>

0, что Л содержит не более

[kxs

log v]

элементов

вида

a - f /г,р, -4- п2р2 +

• • • +

nsps,

где

а,

ри

р2>

• • •,

Ps

— заданные

действительные

числа,

а

пи

п2,

ns

— такие

целые

числа,

что | « i l

+ l t t 2 l +

•••

. . .

+ 1

ns

I ^

v.

В частности, Л содержит не

более

[ki log v]

элементов

любой арифметической

прогрессии

из

v членов

( v ^ 2 ) .

ГРАНИЦА ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ПОЛИНОМОВ

103

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

последовательно

все

системы

(пи

п2,

I ^

ns)

таких целых

чисел,

что

I п \

I +

• • • +

I ns

v>

и

соответствующие

числа вид

а + rtjpi

+

• • • +

nsPs-

Положим

сП ]

ns

= 1, если

число

а + n iPi +

• • • + ns?s

принадлежит множеству Л и не

было

рассмотрено

ранее,

и

сП ]

ns

=

0

в

противном

случае. Количество элементов из Л, которые могут быть

записаны

в

виде

a -f- "iPi - + - . . . +

nsPs>

равно

г ^=

= 2 | с п ,

п я | = 2 | с л ,

ns\2.

Согласно

теореме

4,

существует набор знаков - f и —, такой, что

sup

| 2

± с„

„ /

( в + » 1 Р 1

+ . . . + п л ,

<

c ( s r

l o g v ) ' / 2 >

а по определению множества Сидона левая часть нера­

венства

превосходит

г/%

(х =

х(Л)).

Следовательно,

г <1 С2к2

s log v.

Аналогичное утверждение справедливо для множеств

Хелсона.

Множеством

Хелсона в [0, 2л) является

зам­

кнутое множество Е, обладающее одним из эквивалент­

ных

свойств:

a) всякая непрерывная на Е функция может быть

продолжена

на

[0, 2я)

так,

что полученная

функция

будет

суммой

абсолютно

сходящегося тригонометриче­

ского

ряда.

b) существует такое к > 0,

что для

всякой

меры

d(i,

сосредоточенной

на

Е,

имеем

множестве Z всех

целых чисел

(>0,

< 0 или

0) линей­

ных комбинаций

экспонент

e i m

(п е= Z),

ас=[0, 2л).