Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл (7,50Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г л а в а VII

УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ РЕГУЛЯРНОСТЬ

1.Введение

Вэтой и следующей главах мы снова займемся

изучением случайных тригонометрических рядов

2 Xncos(nt + <Dn),	(1)
№=0
где Хпе п — независимые симметрические	комплексные

случайные величины. Важными примерами таких рядов

являются	ряды	Радемахера
		со
		2	e„*„ cos (nt +		<р„)	(2)
и более	общие	субгауссовские		ряды
		0 0
		2	InXn cos (nt	+	ф„),	(3)

где хп и ф„ — заданные действительные числа, еп — после

довательность		Радемахера,		а \| п — субнормальная по
следовательность.
В главе V мы дали необходимое и достаточное
условие	для	того, чтобы ряд (1) п. н. был					рядом
Фурье	функции,		принадлежащей		классу	V,	где
<	со.	Это	условие	состоит	в том,		чтобы
оо
2 & (min (\| Хп		I 2 ,	1)) < со (стр. 82, теорема			1).	Кроме
о

того^ мы доказали эквивалентность следующих пред

ложений:

(l)c=L°° п. н.;

b) (1) с=

п. н.; с)

ряд (1)

п. н. равномерно

сходится;

ряд

(1)

п. н.

сходится

в каждой

точке

(теорема

стр.

88).

Было бы

жела

тельно дать

явное условие

на

коэффициенты,

эквива

лентное

предложениям а),

Ь),

с)

d).

Но

мы

не

по ГЛАВА VII

в состоянии сформулировать такое условие. В этой главе мы дадим условие на коэффициенты, достаточное для

того,	чтобы	( 1 ) е С п. н.	(п. 2). В следующей главе
мы получим		необходимые	условия.
Кроме пространства С всех непрерывных на окруж
ности	функций, мы рассмотрим также пространство Л а

всех функций, которые удовлетворяют условию Липшица

порядка	а (0 <		а < 1) (см.	стр. 92, упр.		4 и 5). В обоих
случаях	можно		применить	принцип	сжатия		(стр. 37),
и мы получим следующий результат:						если	(2) <= С
(или Ла )	п. н., то это же остается справедливым, если
заменить	хп	на	х'„, \х'п\^\хп\	( я = 1 ,	2	. . . ) , а ср„ — на
произвольное ц>'п.
Хотя мы не получим необходимых и достаточных
условий	для	того, чтобы		(2) е= Л а п. н.,		мы дадим до
вольно точный			результат:	если коэффициенты			заданы,

то можно вычислить верхнюю грань тех а, для которых

(2) <= Л а п. н.	(п. 4).
Будут получены и более точные оценки модуля
непрерывности	случайной функции,	представляемой
рядом (1) .(п. 3). Основное приложение		этих результатов

будет дано позднее, оно касается стационарных гауссовских процессов на окружности и броуновского движения.

2. Достаточное условие для включения (1) е= С

Для сокращения записей в дальнейшем будем использовать обозначение

(/ = 0, 1, 2, . . .

которое в случае ряда (2) имеет вид

Для ряда (3) имеем

РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ					Ш
Т е о р е м а 1. Если			последовательность	st	убывает
со	ТО ряд	(1)	п. н. представляет	непрерывную
и 2 s / < ° ° >	ТО ряд	(1)	п. н. представляет	непрерывную
о
функцию.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Сначала рассмотрим ряд Ра
демахера (2). Положим			Nk = 22k и
	Ри (0 =	2	е„х„ cos (nt + ф„)
и применим	теорему	2 гл. V I . Получим

Согласно лемме Бореля — Кантелли, имеем

l i n L = 0 ^ ( l o g ^ + I ) , / 2 ^ S					&] J n . H . ,
или, что то же самое,
BP*L =	0 l 2 ^ l		2	* ? )	I	п . н .
оо
Поэтому ряд 2<Pfc(0 п. н. равномерно						сходится, если
I
		/2Й+1-1		\1/2
2	2**	2	d	< ° о .		(4)

Следовательно, условие (4) достаточно для того, чтобы

(2) е С п. н. Поскольку S / — убывающая последова тельность, то

/2*+1_1 у/2

112 ГЛАВА VII

Поэтому (4) эквивалентно условию 2 2ks2k			< оо, которое
		k	оо
в свою	очередь	эквивалентно условию	оо
в свою	очередь	эквивалентно условию	2 s / < ° ° - Тем
самым	теорема	доказана для ряда Радемахера.
В общем случае введем, как обычно,			ряд
		оо
		S e „ X „ c o s H + 0„),	(5)

подобный ряду (1). Первоначальное вероятностное про странство обозначается через 0,ХФ) {гп} — последователь ность Радемахера в другом вероятностном простран стве Qe, а ряд (5) является случайным рядом, заданным на произведении пространств йхФе = О^Ф X &е . Положим

5У = /

Xl)m

(/ = 0, 1, 2, . . . ) ,

/ofc+I \I/2

Из предположения относительно последовательности st