Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

146

 

 

 

 

 

ГЛАВА IX

 

 

 

 

 

 

Р (t е= /„) = /

/„;

далее, согласно

лемме

Бореля — Кан-

телли,

P{t^E)=l.

 

Следовательно,

п. н. t^E

 

для

почти

каждого

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 1956 г. Дворецкий [1] поставил вопрос,

является

ли

множество

F

п. н.

пустым или

нет. Мы

докажем

замечательный

результат:

пусть

е > 0; тогда

если

ln — (i-\-e)/n>

 

т о

F п. н. пусто

(Кахан

[2]),

если

же

1п — (1 — е)/п,

то

F п. н. не пусто (Биллард

[4]). (См.

также

Эрдёш

[2], стр.

254.)

Метод, которым

мы

поль­

зуемся, принадлежит

Билларду

[4]. В

случае 1п =

1/п

вопрос пока остается открытым. В этом случае

Бил­

лард показал, что F п. н. пусто или счетно. Мы наме­

тим

новое

доказательство

этого

результата.

Кроме

того, мы дадим простую формулу для размерности Хаусдорфа множества F.

Определение множеств Е и F можно дать и другим способом. Рассмотрим окружность С как множество действительных чисел с операцией сравнения по мо­

дулю

/. Пусть %п — характеристическая

функция интер­

вала

(-IJ2,

IJ2) (mod/), а со,, . . . , со„,

. . . — последо­

вательность Штейнгауза (здесь под характеристической функцией множества понимается функция, равная 1 на этом множестве и равная 0 вне его). Тогда Е — мно-

жество, где ряд 3j%1 n(t — /со„) расходится, a F — множество, где он сходится.

2. Покрытие окружности; достаточное условие

Так как /„ — открытые интервалы, то окружность С покрыта последовательностью / „ ( « = 1 , 2, . . . ) тогда и только тогда, когда она может быть покрыта конечным

со

числом этих интервалов. Следовательно, {C = ( J /„}

n=l

является событием. Аналогично, {C = lim/„} также яв-

л->оо

ляется событием, причем, согласно закону нуля и единицы, это последнее событие имеет вероятность О или 1.

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

147

Т е о р е м а 1. Если lim ( 2 hn~ / log /г J = оо, то С =

=lim /„ п. н.

П-»оо

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

считать, что / =

1. По-

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ложим

Eliv

= ( J I n

и оценим

вероятность

того, что

Е^ч

 

 

 

(1+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не совпадает с С. Если

Е^фС,

то найдется

по

край­

ней мере один интервал /„

(п = р, +

1, . . . ,

v),

левый

конец

которого

а„ не

покрывается

интервалом

I m

(m =

p. +

1, . . . , v; m ф n). Поскольку

P (a„ ф Im)=

1 — lm

(мы

предположили,

что

1=1)

и события

a „ c = / m

(m

=

= р + 1 ,

v; m ф п) независимы,

то

 

 

 

 

 

Р (<хя ф Е^)

=

Р (Vm, a„

/J

=

 

] J

(1 -

У -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т=ц+1

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(Е^ФС)^

J !

Т ^ Г

П

^ - ' « Х

 

 

 

 

 

 

 

п=ц+1

т=ц+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< Т ^ 7 7

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=»(i+I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ( i - / 1 ) . . v . ( i - / , ) e x p l - S 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

m=2

/

 

 

 

и предположение теоремы влечетзасобой Р

(Е11аоФС)=0.

Это справедливо для всех ц и, следовательно, п. н.

Теорема 1 неприменима,

если

1п — 1/п; но она пии-

менима, например, если

+

i0 g n ) ' 6 ' > ^'

148

 

 

 

 

ГЛАВА IX

 

 

 

3. Покрытие окружности; необходимое условие

Т е о р е м а 2. Если

^ fn ехр { ^

-у- J < оо, то п. н.

С ф

lim /„.

 

 

 

 

 

rt-»oo

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Снова можно

предположить,

что

/ = 1 .

Пусть

Fv

— множество,

 

дополнительное

к Ev

=

E0v

относительно

окружности

С.

Характеристи­

ческой

функцией Fv

является функция

 

П О - з ь . С-<»«)).

п=1

Будем рассуждать следующим образом. На первом

этапе

докажем,

что Р (Fv

ф

0 ) не

стремится

к нулю

при v-*-oo, а на втором этапе выведем из

предыду­

щего,

что

С ф E = f]Elloa

п. н.

 

 

Первый

этап.

и

 

 

| Fy | меру

 

Обозначая

через

множе­

ства

Fv,

имеем

 

 

 

 

 

V

\Fv\=lJlV—Xn{t-a>n))dt

И

 

С

л=1

 

v

 

 

 

 

\Fvf=

j

jj[[(l-%n(t-

<D„)) (1 - %n (f - C0„))] dt dt'.

 

С

С n=l

 

Отсюда, применяя теорему Фубини и учитывая неза­ висимость со„, получаем

 

v

8(\FV\)=

lJ[8(l-%n(t-an))dt,

С

п=\

V .

S (1 Fv I2 ) = I I П Ш [ ( 1 - % " ( / - Щ ) ) ( 1 - X "

Л

^

 

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

149

Так как

^ ( х « ( / - о л ) )

=

/л ,

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л=1

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Попытаемся

получить

оценку

для

$(\Fyf).

Для

этого

рассмотрим

функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tn (t — F) = <S (%п (t -

 

ш„) 5С (Г -

«•„)).

 

Функция

£„

есть

не

что

иное,

 

как

свертка

функции %п

с самой

собой. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ln{t)dt

 

 

=

 

ll.

 

 

 

 

(2)

Положим

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& ( I л , р ) = j П (

1

- 2

l n

+ l

n

( 0 )

d

t =

 

 

 

 

 

С

я=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= П < ' -

«

г

Ш

(

'

+

-

^

) < *

(3)

 

 

п=1

 

 

 

С п=1

 

 

 

yv.

 

 

и обозначим

последний

интеграл

через

Тогда

 

 

 

*

<

Ш

(

'

+

Л

)

*

 

 

 

 

 

 

С л=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опираясь на

тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П d + b , ) = l + £i + £2(l + S i ) + . . . + E v П ( 1 +

и

n=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т=1

 

и принимая

во внимание

(2),

получаем

<

 

 

 

V

г

,2

 

»-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150 ГЛАВА IX

ПОСКОЛЬКУ

2

 

',2, <

°0|

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1=1

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т=1

 

 

 

 

 

ш=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А так как

2 ^ е х р

 

2 L ] < ° ° >

т 0

Y V =

0

(О

°°)-

 

 

л=1

 

 

\Ш=|

/

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

из (1) и (3) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(\Fwf)

 

=

 

 

 

0{S*(\FY\)).

 

 

 

Теперь,

используя

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

получаем

#*(\РЧ\)<Т>(\РЧ\ФО)Я(\РЧГ),

 

 

 

 

 

 

 

 

inf

Р (FV

Ф0)>О,

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй

этап.

 

V

 

мы

предположим

что п. н. С =

Если

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= и / „ = £о«» т 0

п " Н -

с У Щ е

с т в У е т

такой

номер v = v(co),

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что С = Е0ч

 

(см. замечание

в

 

начале

п. 1).

Следова­

тельно,

P(C — E0v)

стремится

к

нулю

при

v->oo. Это

противоречит

 

неравенству

(4). Но так как

либо п. н.

С = Е,

либо

п. н. С^фЕ,

то доказательство

завершено.

Теорема

2 неприменима,

если 1п =

1/п. Но

она при­

менима,

например,

если / n

= ~ ( l —\c!gn ) '

6 ^

^'

 

4.

Покрытие

борелевского

множества;

 

 

 

 

 

необходимое

условие

 

 

 

 

Теперь предположим, что дано борелевское мно­

жество

А на

окружности С. Как и для

С, имеем: либо

A cr Е п. н.,

либо

АфЕ

п.

н.

 

 

 

 

 

 

 

Если

А

счетно,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ' « < ° ° Ф * Я Г М

= 0

п. н.,

 

 

21 /„ = оо фф A cz Е п. н.

Это немедленно следует из сказанного во введении-

Смотрите также файлы