Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

141

где Ап

—независимые симметрические комплексные слу­

чайные величины.

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

6. При

условиях

 

 

 

 

sup

(S{\An

Г ) I T 2 ( I An

|2)) = C < oo

(16)

U

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J S ( i ^ S ^ ( l ^ l 2 ) ) = v > o

(16)

ряд (2) почти

наверное

расходится

для

каждого

t.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно условию

регуляр­

ности

(15) и неравенству

I I (см. стр. 19),

 

 

Р ( | Л „ | 2 > 1 « § Г ( | Л „ | 2 ) ) > ^ - .

 

Если

lim <?? (| Л„ f) > 0,

то из

леммы

Бореля — Кан-

 

П - > о о

 

 

 

 

 

 

телли

следует, что lim | Ап | > 0 п. н., и, следовательно,

 

 

П-> со

всюду.

 

 

 

ряд (2) п. н. расходится

 

 

 

Если же lim !Г(| Л„|2 ) = 0, то возьмем / > 0 и опре-

 

П-»-оо

 

 

 

 

 

делим возрастающую последовательность целых чисел V/

следующим

образом: v0 = 0 и для каждого /число v / + 1

равно наименьшему целому числу, превосходящему V/

и

такому, что

2

%> (\ Ап

|2 ) > /. Имеем

 

 

 

v / < n < v / + I

 

 

 

 

 

 

Hm - j - Y*r(|

Anf)=l

 

и,

следовательно,

в силу (16)

 

 

 

 

 

Mm

- r

i - = ^ - .

(17)

Положим

 

 

 

 

 

 

 

'

 

P,(t)=

 

2

Ane^

 

и

докажем^

что

п. н. не

существует такого

t, что

1 ^ / ( 0 1

для каждого /.

 

 

142

 

 

 

 

ГЛАВА VIII

 

 

 

 

 

 

Мы

можем

применить

предложение

3. В данном

случае

q, >

УI.

Обозначим

через

Еи

событие: «суще-

ствует

такое

t,

что I P j ^ K ^ g ,

для / = 1 , 2,

ц».

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно (17),

^

ехр (2/ц/у)

для

бесконечно

мно­

гих и..

Если

выбрать / достаточно

малым, так

чтобы

ехр (-у )(1 ~

Р) < 1> т 0

будем

 

иметь J]m Р (£й ) = 0. Сле-

довательно,

п. н. не существует

 

ц,-> оо

что

 

такого

 

 

^ | / / / 4

для каждого

/. То же самое справедливо, если

мы ограничимся случаем j

^ j 0 , где

у0

произвольно.

Следовательно,

ряд

(2) п. н.

расходится

всюду. Этим

заканчивается

доказательство

теоремы

6.

 

 

Молено поставить вопрос, является ли условие (16)

наилучшим

из

возможных.

 

Очевидно,

нет, поскольку

(16) можно заменить следующим более слабым пред-

пололеением: для кал<дого

р > 1 существует такая по­

следовательность

непересекающихся интервалов [ajt b/]t

bj — а/^р1,

что

 

 

 

Ит

2

# ( | Л „ | 2 ) > 0 .

Доказательство остается тем же, надо лишь положить

P,{t)= 2 Апвм.

Оу<п<Ьу

Но условие (16) является строгим в следующем смысле: в (16) нельзя заменить l o g н а eNlogN, где lim бд, = 0. Действительно, если задана последователь-

W->-oo

ность гп, стремящаяся к 0, то найдется случайный ряд

оо

2 ± апеш (ап действительны), сходящийся для некоторого / при любом выборе знаков + и — и такой, что

J l m J v b r | a " ) > 0 ( y n p - 3 ) -

( 1 8 )

 

 

НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ

НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

143

 

Наконец,

заметим,

что

 

(16)

следует

из условия

lim

Sj >

0,

если Sy определены,

как

обычно.

Это

позво-

ляет нам резюмировать

основные

факты о

сходимости

и расходимости ряда (2) следующим образом

(ср. стр. 82,

88,

ПО,

111,

131).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

7.

Пусть

коэффициенты случайного

ряда

(2)

удовлетворяют

условию

(15), и пусть

 

 

 

 

 

 

 

= (

 

2

 

^ ( M j 2 ) ) " 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2/<л<2/+1

 

 

 

 

 

 

Тогда

из

предполооюений, записанных

ниже слева,

почти

наверное

следуют

заключения,

 

записанные

справа:

 

оо

 

 

 

 

 

 

сходимость

всюду;

 

 

 

2

$у <

0 0

« s/

\

ф

 

 

 

оо

 

 

oo =Ф расходимость

в

некоторой

точке;

 

2 s y

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

s) <

оо =Ф> сходимость

почти

всюду;

 

 

 

2

 

 

 

1

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 s 2 .

=

oo ^расходимость

 

почти

всюду;

 

 

 

lim s/ >

О =Ф> расходимость

 

всюду.

 

 

 

/ T o o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Упражнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

a/COs(A,y£ +

фу), a y ^ O , сру действи-

 

1.

Пусть f{t)=

2

оо

тельны, X/ целые, 2 ^ / < 0 °

о

Докажите, что

a)если limA. yay >0, то f

руема;

и inf (Я-у+1Ду) > 1.

нигде не дифференци­

b) если

f(t

+ h)-f(t)

=

0(\h\a)

при п-+0 для не­

которого /,

то

aj = 0(X]~a)

и / е А , .

 

144

 

ГЛАВА VIII

 

(Для

доказательства

п. а)примените предложение 2;

для доказательства п. Ь)

необходима некоторая

моди­

фикация

предложения

1

вместе с импликацией

0/ =

~ o ( a , r a ) # f e A e . )

2. Пусть ц./ — такая последовательность натуральных чисел, что lim (р./+ 1 /^/) = оо, а с/— последовательность

/>со

комплексных чисел, стремящаяся к нулю. Докажите,

оо

что ряд 2I С/с?'1*/' сходится при некотором t. (Определите действительную последовательность t/

 

 

 

 

 

со

 

 

так, что

| tt+l

—tj\<

n/nj+l;

тогда ряд 2

cfi^i1

схо­

дится

в точке

/ = limfy.)

 

 

 

3.

Если задана

последовательность е,„ стремящаяся

к нулю, то найдется такая

положительная

последова-

 

 

 

 

 

 

оо

 

тельность

ап,

что

имеет место (18) и ряд

2 ±

апеш

при любом выборе знаков + и — сходится в неко­ торой точке (зависящей от выбора знаков + и —).

(Упражнение 2.)

4. Пусть Ф„ равномерно распределены на окруж­ ности. Докажите, что теоремы 2 и 3 остаются спра­ ведливыми, если в них слова «почти всюду» заменить словами «при каждом заданном /».

(Слегка упрощенные доказательства.)

Г л а в а ГХ

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

 

 

 

1. Введение

 

 

В этой главе

мы рассматриваем окружность длины /

и убывающую

последовательность

положительных

чи­

сел /,

/„,

меньших чем /.

Мы

распределяем

слу­

чайным

образом

открытые

интервалы (дуги) длины

/]

/„, . . .

на

окружности

и исследуем случайное

множество, состоящее из точек на окружности, которые покрыты бесконечным множеством таких интервалов.

Интервалы будут обозначаться через 1и

/„

слу­

Мы предполагаем, что их центры — независимые

чайные величины, равномерно распределенные на окруж­

ности. Через

С

обозначается

окружность,

через

Е —

верхний предел

lim /„'), а через

F — множество, допол-

 

Е.

П ->оо

F

 

 

 

нительное к

Множество

состоит из

тех

точек

окружности С, которые покрыты конечным числом интервалов /„ (или не покрыты вообще). Установим

некоторые

простые

результаты.

 

 

 

 

Мы

уже

знаем,

что Е всюду плотно

на окружности

и что

на

самом

деле оно

второй

категории

на всяком

интервале,

каковы

бы

ни

были

/,,

 

/„, . . .

(предло­

жение

11

из гл. V на стр. 83).

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

2

In <

° ° i

то

F — наверное множество меры 0.

Если

со

 

° 0 . то

F — почти

наверное

множество

2 ' « =

меры 0.

к

 

 

 

если

задано

/е=С,

то имеем

Действительно,

J ) П г а / „ = П U In ( с м . стр . 17),

Смотрите также файлы