Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

151

суждать

так

же, как в

п.

3.

Предположим,

что

I = 1

и ^ da{t)

=

l.

Поскольку

а-мера

пересечения

FV(]A

с

равна

V

а (Л, П А) =

J

Л

(1 -

%п (t -

со„)) da(t),

имеем

С

п=1

o2(F,r\A)

=

V

= J

J

П [

( I

- Х п

{ t

- Ю п

) )

( 1

- ^<f

- а » м d a

w d

a

С

С

n=\

Повторяя

те

же

вычисления,

что и

в п. 3,

получим

сле­

дующее

предложение: если

2

а„/„ехр(

2

/т) <

°°,

(5)

п=1

\ш=1

/

то

inf Р (Fv П А ф

0 )

>

0.

В

заключение

отметим,

что

v

A д± Е

из

(5)

следует

п. н.

Следующий

результат

является

обобщением

тео­

ремы

2.

на

Т е о р е м а

3.

Пусть

А — борелевское

множество

С,

a

da (t) — непрерывная

положительная

мера,

со­

средоточенная

на

А и отличная

от тождественного

нуля.

Положим

ап=

J

J

da (и) da (v)

(6)

{интеграл

рассматривается

на

множестве

С X С).

Тогда

если

выполнено

(5),

то

А

п. н.

не

покрывается

мно-

о/сеством

Игл 1п-

П - > 0 0

С л е д с т в и е

1.

Пусть

А

имеет

положительную

меру

Лебега.

Тогда

из

предположений

теоремы

2

сле­

дует,

что А

п. н.

не

покрывается

множеством

lim /„.

П - » оо

С л е д с т в и е

2.

Если

А

только

несчетно,

то суще­

ствует

такая

последовательность

Ц

/„,

что

0 0

2

ln =

°°

и

А

п. н.

покрывается

множеством

lim /„.

I

П->оо

Как

мы

уже

отмечали,

в

следствии

2

предположе­

ние о

несчетности

множества

А

существенно.

5.

Случай

tn

=

t/n

Мы уже отмечали, что ни

теорема

1, ни

теорема 2

не применимы,

если

1п =

1/п.

С помощью теоремы 3 мы

докажем, что в этом случае п. н. F не более чем счетно.

Нам удобно ввести несколько понятий. Вместо

по­

следовательности

случайных

интервалов

мы

будем

го-

СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ НА ОКРУЖНОСТИ

153

&~ = {1п} является

покрывающим

семейством.

Вообще

если

множество

lim /„

п. н.

содержит

данное мно-

П->оо

покры­

жество А, мы будем говорить,

что &" является

вающим семейством

для

А.

Если

имеются

два

случай­

ных

семейства

интервалов

ЗГХ

и

&~2, заданных

на ве­

пространств Q[ и Q2,

т. е.

на

Q,{ X £V> ST состоит

из

интервалов,

входящих

в

и

в &~2, которые рассма­

триваются независимо друг от друга.

Если

множество

F

п. н.

имеет

меру

нуль,

т.

е.

со

2 1 I n | =

оо, то мы будем говорить, что &~ =

{/„} является

почти

покрывающим

семейством.

Наконец,

будем

гово­

рить,

что

8Г является

приблизительно

покрывающим

семейством,

если оно

покрывающее

для каждого

мно­

Докажем две

теоремы.

Т е о р е м а

4.

Если

| / „ | =

/„ =

//«

( я = 1 , 2,

. . . ) , то

семейство {/„} — приблизительно

покрывающее.

Т е о р е м а

5.

Если

@~ — приблизительно

покрываю­

щее

семейство,

то множество F п. н. не более чем счетно

(как

и

ранее,

F — это множество

всех

точек £ е

С,

каж­

дая

из

которых покрывается

лишь

конечное

число

раз).

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

4.

Предположим

снова,

что / = ( 1,

и воспользуемся

тем

же

методом, что

и

в п. 2. Пусть / — замкнутый интервал

на

окружности.

Если

[фЕ^,

то

либо

ни один из

интервалов

/„

(п

=

=

(1 +

1, . . . , v) не содержит

левого

конца

интервала

/,

либо

найдется

интервал /„,

который

пересекается

с

/,

154

ГЛАВА IX

<

п

( ! - ^ +

i

- r ^ f 1

п

<*>

Это

т=ц+1

л=ц.+ 1

т=ц+1

верно

для любой

последовательности /„. Полагая

1т = 1/т и устремляя v к бесконечности,

получаем

Р ( / £ £ Ц с о ) < ц . | / | .

Если

/

есть объединение непересекающихся интерва­

лов,

то,

применяя это

неравенство к каждому из ин­

тервалов

и

складывая

полученные

неравенства,

полу­

чаем Р (/ ф

< и. | / |. Отсюда следует, что если

задано

множество

А лебеговой

меры нуль,

то Р (А ф ЛЦ о о ) = О

и, следовательно, Л с £

п. н.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

5.

Предположим,

жества

G положительной

вероятности. Для

каждого

ш е б

существует

непрерывная мера daa((),

сосредото­

ченная на .F(co). Определим

равенством

(6). Тогда

lim ал(со) = 0, если в е С

Следовательно, G

содержит

подмножество

Я

положительной

вероятности,

такое,

что а п (со)^р„

на Н, причем

lim р„ =

0.

Пусть

—случайное

П->оо

/„, за­

семейство интервалов

данных на вероятностном

пространстве

таких, что

оо

21 In = оо

(/„ =

I / п

|),

I

21 рп /п ехр(

21 1т) < оо. .

1

\m=l

I