ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
|
НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
137 |
|||||
г = 1, |
2, . . . , |х. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
P ( £ ) < f i v ( l |
-$f |
|
|
|
|
для |
некоторых |
положительных |
чисел |
В |
и р, |
зависящих |
|
только от С. |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если |
t и / |
фиксированы, |
то, |
||||
согласно неравенству Пэли — Зигмунда |
(см. |
стр. 48), |
|||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
p ( | P / ( 0 l < j « 7 / ) < l - e , |
e = - ^ m i n ( j , |
|
|
||||
Если же фиксировано t, то
P ( v / , | P / W K ^ / ) < ( l - e f .
Положим tk = 2nklK, k = l, 2, К, где К —нату ральное число, которое будет подобрано позже. Обо
значим |
через |
Ek событие: существует k |
(\^.k^.K)t |
|
такое, |
что |
|
|
|
для |
каждого |
/. Тогда |
|
|
Для |
каждого |
/ имеем |
|
|
|
|
— V |
— V |
|
|
|
|
#(И P / t ) < | ( v + l ) 3 |
^ |
|
|
Но, |
согласно |
неравенству |
Бьенэйме |
(см. стр. |
19), |
|
' ( i a > i « ] < ^ . |
|
|||
Далее, обозначим через |
событие: |
(я//С)|| Р/ |
^ <7//4 |
||
для |
каждого |
/. Имеем |
|
|
|
1 |
v(F'\^ |
3 2 я 2 ц ( у + О 3 |
138 |
|
ГЛАВА VIII |
|
Если |
задано |
t, то найдется такое tk, |
что |
|
|
\Pi(tk)-Pi(t)\<f\\P/\L |
|
для |
каждого |
/. Следовательно, из Е |
и Е'к вытекает Ek. |
Иными словами, Ek U OE'k U СЕ — полное вероятностное пространство и
P ( £ * ) + 1 - P ( £ i ) + 1 - P ( £ ) > l .
Из предыдущих неравенств следует, что
Р ( £ ) < К ( 1 - в Г + 3 2 я 2 у ) 3 .
Полагая |
К = [11 (v + 1) (1 — е ) _ ц / 3 ] + |
1, мы получаем тре |
||||||||||||||
буемое неравенство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8. |
Нерегулярность всюду |
(продолжение) |
|
||||||||||||
Теперь мы в состоянии закончить |
доказательство |
|||||||||||||||
теоремы |
4. Мы докажем |
даже |
несколько |
|
более |
общий |
||||||||||
результат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
5. |
Пусть |
выполнено |
|
условие |
(4) |
и ряд |
|||||||||
(1) п. н. представляет |
непрерывную |
функцию |
F. |
Крэме |
||||||||||||
того, |
пусть |
для всякого |
р ^ |
I |
существует |
такая |
после |
|||||||||
довательность |
положительных |
целых |
чисел |
К/, что |
||||||||||||
|
Я/ + |
2 р / < Я у |
+ 1 - 2 р / + ' |
|
( / = 1 , 2 , . . . ) , |
(13) |
||||||||||
|
|
|
И т ( о 2 / а |
|
2 |
|
|
* ( * • ) ) > |
0 |
|
(14) |
|||||
(О < |
1). Если |
а < |
1, |
то почти |
наверное |
|
|
|||||||||
|
Ш |
1^(< + |
* ) - ^ ( 0 1 > |
о |
д |
л я |
к |
а ж д о |
г |
о |
L |
|
||||
|
н->о |
|
|
|
|
I л |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
а = 1 , |
то почти |
наверное |
|
F |
нигде |
не |
дифферен |
||||||||
цируема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
р = |
р (С) |
|
определено, |
|||||||||||
согласно |
предложению |
3, и р < (1 — р ) - |
1 . |
Предполо |
||||||||||||
жим |
сначала, |
что а < |
1. Если р выбрано, то тем самым |
|||||||||||||
НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
139 |
определено А/. Положим v/ = [2p/ ] и
|
|
U|<v, |
1 ' |
|
где А„ = -j |
Хпе'Ф". |
Из условия |
(13) |
следует, что коэф |
фициенты |
полинома |
Р / ( / = 1 , 2, . . . ) |
являются незави |
|
симыми комплексными случайными величинами, кото рые по предположению симметрические. Следовательно,
можно применить |
предложение |
3 с произвольно |
боль |
||||||||
шим |
ц. и v = v^. Так как из |
нашего |
выбора р и vt |
сле |
|||||||
дует, |
что |
|
l i m v } i |
( l — ЭГ==0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
то событие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 1 ^ / ( 0 1 ^ 4 " ^ |
0 ~ 1 > |
2, |
•••) |
для |
некоторого |
t» |
|
||||
имеет |
вероятность |
0. |
Точно |
так же |
событие |
|
|
||||
« l ^ / ( 0 K j < 7 / |
(/ = |
/<>» /о+1» •••) |
Для некоторого |
t» |
|||||||
имеет |
вероятность |
0, |
|
каково |
бы |
ни было /0 . Следова |
|||||
тельно, событие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Pj{t) = |
o(qj) |
|
( / - > о о ) |
для некоторого t» |
|
|
||||
имеет |
вероятность |
0. |
Далее, |
имеем |
|
|
|
||||
|
I » K V / |
|
|
|
|
|
|
|
| п | < р / |
|
|
а потому на основании (14) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lim |
p'aqf |
> |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
->оо |
|
|
|
|
|
|
Иными словами, |
vja = |
0(qt) |
(}->оо). |
Наконец, событие |
|||||||
|
«Р/ (t) = о (ууа) |
|
(j - > оо) для некоторого t» |
|
|
||||||
имеет Ёероятность |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возвращаясь |
к |
предложению |
1 (см. стр. 135) и по |
||||||||
лагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А-п = Ап),
140 |
|
|
|
|
ГЛАВА VIII |
|
|
|
|
|
||
мы видим, |
что событие |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
«Pj(t) = o(vJa) |
|
(j—>oo) для некоторого t» |
|||||||||
включает событие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«F(t + h) — Р(t) = |
о (|Л| а ) |
(Л->0) |
для |
некоторого |
||||||||
Следовательно, это последнее событие также |
имеет |
|||||||||||
вероятность |
0, |
и |
это |
доказывает |
первую |
часть тео |
||||||
ремы |
5 (а < 1). |
|
|
|
|
Vy = |
|
|
|
|
|
|
В |
случае а = 1 |
положим |
[p7 ] и |
|
|
|
||||||
|
|
p,(t)= |
|
2 |
|
ь'п.чЛ,+пе1, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
]n|<2v,-2 |
' |
N |
r n |
|
|
|
||
Применим снова предложение 3. Здесь |
|
|
|
|||||||||
|
|
я)=\ |
|
2 |
kn,Vj& |
|
{xlj+n) |
|
|
|||
|
|
|
|
|n|<2v/ -2 |
|
|
|
|
|
|
||
и, согласно |
(14), \jl |
= |
0{(j^. |
Следовательно, |
событие |
|||||||
|
«P/(t) |
= |
o(yjl) |
для некоторого t» |
|
|
||||||
имеет |
вероятность |
0. Применяя |
предложение 2 |
вместо |
||||||||
предложения 1, получим, |
что событие |
|
|
|
||||||||
|
«F дифференцируема при некотором t» |
|
||||||||||
имеет |
вероятность |
0. |
Этим |
заканчивается |
доказатель |
|||||||
ство теоремы 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Остается |
еще доказать |
теорему |
4. Для этого |
доста |
||||||||
точно заметить, что из предположений |
теоремы |
4 вы |
||||||||||
текают предположения |
теоремы |
5. |
Действительно, это |
|||||||||
почти |
очевидно, |
если |
выбрать |
|
|
|
|
|
||||
|
K, = |
[Kpi], где К + |
|
2^р(К-2). |
|
|
||||||
9.Расходимость всюду
Вэтом параграфе мы рассмотрим ряд (2)
2 Кеш,