ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
160 ГЛАВА X
|
Затем мы предположим, что 2 |
т2, < |
оо, и рассмотрим |
||||
случайный |
ряд |
|
i |
' |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 еу/П/бд |
|
|
(2) |
где |
eh |
е/, ...—последовательность |
Радемахера, |
||||
не |
зависящая |
от |
последовательности |
0,, |
0/ |
||
|
со |
|
|
|
|
|
|
Если 2 ' " / = |
0 0 > |
то |
ряд (2) уже |
не является |
случайной |
||
мерой, но во всяком случае представляет случайное распределение в смысле Л. Шварца. Интересные при меры сопряженных гармонических функций на единич ном круге возникают при свертывании такого распре деления с ядром Пуассона и сопряженным ядром Пуассона. Таким путем мы получим теорему Пэли — Зигмунда (см. Пэли и Зигмунд [2]): пусть на [0, оо) заданы две положительные возрастающие неограничен ные функции г|) и %, причем %(х) = о(х); тогда в еди ничном круге | z | < 1 существуют две сопряженные гармонические функции u(z) и v(z), такие, что
jl(\u(re")\)dt |
= 0(l) |
И 1 ) , |
j Ц(\и(геи)\)сНфО(1) |
(г f 1) (п. 5, 6). |
|
Случайные распределения |
(2) имеют много общего |
|
с броуновскими распределениями, которые будут опре делены позже.
Обобщения ряда (2) даются в качестве упражнений.
2. Две теоремы |
о ряде |
Фурье — Стильтьеса |
|
||
|
со |
|
|
|
|
Предполагая, что |
2 m / |
< ° |
° i будем |
обозначать |
ряд |
|
|
|
со |
|
|
Фурье — Стильтьеса |
меры |
d\i |
через 2 |
Спеш или |
через |
|
|
|
— со |
|
|
S(t;d[i), |
а его «частные суммы» — через Sn(t; dp). |
СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ |
161 |
Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
C |
= |
J V " " d | i |
{(] = |
|
^т,е-ш1, |
|
|
|||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
/-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn(t;dix)= |
|
S Cmeimt=im,Dn{t-Qi)t |
|
|
(3) |
|||||||||
где |
|
|
|
т——п |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin—=—/ |
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
S |
е""' |
= |
|
|
||||
|
|
А Л 0 |
|
|
. |
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т=-л |
|
|
|
|
sin — |
|
|
||
— обычное |
ядро |
Дирихле. |
Будем |
говорить, |
что при |
|||||||||
заданном |
t |
ряд S(tf; d\i) |
ограничен, |
если |
ограничена |
|||||||||
последовательность |
S„(/; d\i). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поскольку |
Bj — t |
и 0/ |
имеют |
одинаковые |
распре |
|||||||||
деления |
на |
окружности, |
то ряды |
S(t; dp.) и S(0, d\i) |
||||||||||
подобны, |
каково бы ни |
было /. Следовательно, если |
||||||||||||
5(0, d\i) п. н. обладает некоторым свойством |
(наподобие |
|||||||||||||
ограниченности), |
то |
S(t; |
d\i) |
п. н. обладает |
тем же |
|||||||||
свойством; |
отсюда |
следует, |
что S(t; d\i) п. н. обладает |
|||||||||||
этим же |
свойством |
для почти каждого /. Мы неодно |
||||||||||||
кратно будем |
пользоваться .этим |
замечанием. |
|
|||||||||||
Мы будем |
пользоваться также формулой |
|
||||||||||||
|
S„(0; |
^ |
- |
г |
^ |
|
т |
^ |
+ |
ОО), |
|
|
||
которая следует |
из (3) и из оценки |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
_ |
. |
. |
sin « 9 / |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D n { Q , ) = 2 — ^ - |
+ |
0{\). |
|
|
|
||||||
В этих формулах мы предполагаем выполненным нера венство | 8 / | ^ я ( / = 1 , 2 , . . . ) , что не ограничивает общности.
Считая в дальнейшем это предположение выпол ненным, положим
«j. _ V |
s i n n9i |
or t — 2^ m i |
0} ' |
/=1 |
|
б Ж.-П. Кахан
162 |
ГЛАВА X |
|
Т е о р е м а 1. Если |
^ т / < о о и ^ ] |
l o g - J - < о о , |
го ряд S(t; d\i) п. н. ограничен почти всюду.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
сделанным выше |
|||||
замечаниям, |
нам |
надо |
лишь доказать,, что |
последова |
|||
тельность |
S'n |
п. н. |
ограничена. |
Для |
этого |
достаточно |
|
проверить, |
что |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ Тел < 0 0 |
п - н - |
|
( 4 > |
|
Полагая |
Х{ |
= /л,/| 9/1, |
видим, |
что |
Xs — независимые |
||
положительные случайные величины и молено применить
теорему |
6 |
гл. |
I I I (стр. |
53). Имеем 8(min(Xt, |
1)) = |
|||||
1 |
|
яе |
|
Следовательно, |
°° |
|
1)) < оо, |
|||
*= — m,\og —. |
|
2 <^(nrin(J,, |
||||||||
3l |
|
tilj |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
2 ^ / |
< 0 |
0 |
п. н. А |
это не |
что |
иное, как |
(4). |
||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
В |
случае |
V m / l o g — |
= |
оо |
мы |
докажем, |
что ряд |
|||
|
|
|
мшш |
til; |
|
|
|
|
" |
|
S{t; |
d\i) |
|
1 |
|
' |
|
|
|
|
|
п. н. неограничен |
почти всюду. Введя |
некото |
||||||||
рые новые обозначения, мы на самом деле докажем
далее |
несколько |
больше. |
|
|
|
|
|
|||||
Если |
задано |
конечное или |
бесконечное множество Л |
|||||||||
положительных |
целых чисел, |
то |
положим |
|
||||||||
|
|
|
|
S A |
{t; |
d\x) = |
sup Sn (t; d\i). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rteA |
|
|
|
|
Т е о р е м а |
|
2. |
Пусть |
последовательность |
m, у бы- |
|||||||
|
|
оо |
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
вающая, ^ / п / < о о |
и |
^ |
nij log |
= |
оо. |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
а) Если Л — бесконечное |
множество целых |
чисел, то |
||||||||||
|
|
S\ |
[I; dp.) = |
оо п. н. почти |
всюду. |
(5) |
||||||
Ь) |
Пусть |
Ар |
( р = 1 , |
2, |
3, |
...) |
— множества, |
состоя |
||||
щие |
из |
Кр |
положительных |
целых |
чисел; |
полооким |
||||||
|
|
СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ |
163 |
||||||||
V I |
|
, |
1 |
• Далее, |
пусть |
; |
lim |
log Х„ |
> 0. |
Тогда |
|
Qp—У, |
|
tit/log |
— |
|
Р |
||||||
^ |
|
|
|
mf |
|
|
р->о |
|
|
||
|
lim (-^- 5л |
(t; а*ц)) > 0 п. н. почти всюду. |
(6) |
||||||||
|
р-»оо \ ШР |
р |
I |
|
|
|
|
|
|
||
Д ЛЯ облегчения понимания теоремы проведем краткое |
|||||||||||
доказательство утверждения (5) |
в специальном случае, |
||||||||||
когда |
Л |
есть |
множество |
всех |
положительных |
целых |
|||||
чисел. Согласно замечанию перед теоремой 1, нам достаточно лишь доказать, что последовательность В*п
п.н. неограниченна. Напомним, что
оо |
|
|
|
S " = S l T s i n " 0 |
> |
( - я < 9 / < я ) . |
(7) |
Каждая частная сумма |
ряда |
(7) почти периодична, |
|
имеет частоты 0/ и коэффициент /П//0/. Так как вероят ность наличия линейной зависимости с рациональными коэффициентами между числами 0/ равна нулю, то 0/ п. н. независимы над полем рациональных чисел, срав
нимых |
по mod 2л. |
Следовательно, |
можно |
применить |
|||
теорему |
Кронекера, |
и мы |
получаем |
|
|
||
s u p 2 j " e f s i n " e ' = . L w r n ' н ' |
( v = I ' 2 > |
|
|||||
n |
/=i |
|
/=i |
|
|
|
|
С другой стороны, если п и v заданы, то |
|
||||||
поскольку |
|
slh пв/ |
^ |
sin /10/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
е, |
- |
в. |
|
|
где 0/— |
нечетное кратное л/га, ближайшее к 0,- и боль- |
||||||
|
sin |
«9/ |
|
|
|
|
|
шее 0/, |
а — : |
симметрическая случайная |
величина. |
||||