Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

164

ГЛАВА X

Следовательно,

Так как по предположению ^ mj\og—- = oo, то, при-

меняя теорему

6

гл. I I I , находим,

что

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

£ w r = o o n - н -

 

 

 

Следовательно,

Р (sup S'n =

°о) ^=4-

и,

согласно закону

нуля и единицы,

sup S*n =

оо п. н.

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

Отсюда легко получить пример случайной сумми­

руемой функции,

ряд Фурье

которой

п. н.

расходится

почти всюду (упр. 2).

 

 

 

 

 

Главный момент в проведенном коротком доказа­

тельстве — это

использование

теоремы

Кронекера (сла­

бую форму этой

теоремы

мы

формулируем

в качестве

упр. 3). Для доказательства теоремы 2 мы будем сле­ довать одним из возможных путей доказательства тео­ ремы Кронекера, используя так называемые произве­ дения Рисса.

3. Доказательство теоремы 2

Утверждение п. а) следует из утверждения п. Ь), и, согласно замечанию перед теоремой 1 в п. 2, условие (6) вытекает из следующего условия:

 

 

lim a>~lS'A

> 0 п. н.,

(8)

 

 

р->оо Р

Р

 

 

 

 

где SX

= sup

S*n-

Но,

согласно

закону

нуля и еди-

ницы,

условие

(8)

вытекает

из

условия

 

 

 

 

Р (S1

>

г\ир)

>

л

(9)

 

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

165

для

некоторого п > 0

и для бесконечного множества р.

Это условие мы и будем доказывать.

 

 

Можно

предположить; что

 

 

 

 

 

т,>Г2

и

inf Ар>р2

 

(10)

(так

как

прибавление

j ~ 2

к Ш(

и

удаление р2

членов

из Л р не

может сильно изменить

ни

величины

<ар, ни

logA.p). Для некоторого а и бесконечного множества р имеем

\>е*Р.

(11)

Мы ограничимся теми значениями р, которые удовле­

творяют этому

условию.

 

 

 

Далее,

можно

предположить,

что

0 < < х < 1 . Опре­

делим случайные

величины р./ и а./-.

 

р , / = 1 ,

а/ =

а,

если

/ И / < 0 / ^ я ;

Р/ =

0,

ci/ =

0,

если

— / П / ^ 9 / ^ т / ;

Р/ =

1,

а;- =

 

— а,

если

— я ^

8/ < — т . / ,

и введем своего рода произведение Рисса

р

/ ? п = П ( 1 1 / + a/sinnO/).

Тогда У?„ — положительная случайная величина. Грубо говоря, она велика, если велика сумма S*n, за исклю­ чением события малой вероятности, когда коэффициенты в ряде (7) не ограничены единицей.

Поскольку Rn^O, то

2 Rn.Sn ^ S\

2 Rn-

пе=Лр

Р „ е Л р

Чтобы доказать (9), достаточно установить, что

Но это условие вытекает из следующих двух условий:

P ( S

* . < ^ г ) > 1 - П '

02)

166

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА X

 

 

 

И.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

'

Р7 ' 2

. RnSn>r]"Xpap\>

 

if,

 

(13);

 

 

 

 

 

\ п ^ А Р

 

 

 

. I

 

 

 

если

только

т ) " > г | + г | '

и

г\'т\" >

2у\.

Следовательно,

нам

надо

лишь

доказать, что (12) выполняется для всех

г\' > 0,

а

(13)

имеет

место

для некоторого

г\" >:0, по

крайней

мере при достаточно

больших

р.

 

Доказательство

условия

(12) для

всех

 

Имеем

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ .

. <r(Pn ) =

n ^ ( ^ / +

«/sin«8/ ),

 

 

 

 

 

Ж (а/ sin «9/) —

 

sin «6 d9

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ( :

' - ^ - 1 ^ < « . . > < ( ' 0 ' -

Согласно (10),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с < # ( / ? „ ) < 2

при п е Л р

(14)

для некоторого положительного с, не зависящего от р. Отсюда следует, что

 

\ п е Л Р

/

. . .

Последнее

условие

есть не что иное,

как (12).

Доказательство

условия

(13) для

некоторого ц" > 0.

Положим

5 П = Г „ + Un> где

 

 

 

р

 

0 0

 

7,n

= 2^y-sinn9/ ,

£/„==2 -g^-sinnO/.

/•=1'

; '

/=P+J 7

 

 

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

\QJ

Как и

выше

(см. стр.

163),

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

Un>U'n=

 

j

 

"5" sin «9/,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=P+I

/

 

 

 

 

где

0/ — нечетное

кратное

я/я,

ближайшее

к 0/ и боль­

шее

0/;

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

RnSn>

2

 

RnTa+

2

RnUn.

 

 

 

 

» е Л ,

 

п е Л

Р

 

 

n s A

P

 

 

Так

как

сумма

U'n

симметрична

и

не

зависит

от'

0„ .

. в

р ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы доказать условие (13) для некоторого ч\" > О, достаточно показать, что

 

 

Pf

2

RnTn>

г{"Кр<ар\>

ц'"

 

 

(15)

при

некотором г)"' >

0.

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

неравенству

I I (стр. 19),

неравенство

(15)

вытекает из

следующих

условий:

 

 

 

 

 

 

 

8[

2

RnTn) > РУо р ,

 

 

 

(16)

 

 

 

\

л е Л р

 

У

 

 

 

 

 

 

 

* ( ( . . £

/ ? » 7 ' » ) 2 ) <

 

 

 

( 1 7 >

если

только

т ) " ' < р / 2

и

т ] " ' <

р2 /(4у).

Теперь

мы

до­

кажем неравенства

(16)

и (17)

для некоторого

р >

0 и

у >

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

неравенства

(16)

для

некоторого

Р >

0. Запишем

Rn в виде

Rn =

(\xt + a, sin ntt)

R'n

и обо­

значим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х'п = — + a j sin nBj)

168

 

 

 

 

 

ГЛАВА X

 

 

 

 

 

 

( / = 1 ,

2, . . . . р; пс=Л р ) . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=i

 

 

 

 

 

 

 

Как

и в (14), &(RL)7^C

при « е Л р ,

С другой

 

стороны,

 

 

 

se(yl\

 

п

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Г sinn9 , Q .

а

С sin! n9

 

 

 

Так

как, согласно

(10), пщ}>

1 при п с = Л р

и у'^р , то

 

 

 

 

 

S(Xa)>Ca\og-l-,

 

 

 

 

 

 

 

где

С — абсолютная

постоянная.

Поэтому

 

неравен­

ство (16) выполняется

при р =

Са/4.

 

 

 

 

 

Доказательство

неравенства

(17) для

 

некоторого

у > 0.

Записывая

RN в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К = О*/ + «у

л/,) (р, +

ak

sin л/й ) Я? *

и полагая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

m =

sinn9/

 

- f а/sin

га9/)(р/ +

а ; sin

 

 

 

л л ,

— — ( р /

 

tndt),

у

 

 

sinn9/ sin/n9/

(р./ + а7

sin л 9 / ) ( р /

+

а ;

sin /ив/),

Уп. m = — ^

 

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< W „ * m

: r m )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

£

£

* , « . * ( * £ . Т ) «Г ( X *

„) 9 (R1WJ)

+ ...

 

 

 

 

 

. . . + i / n ^ ( y / . m ) ^ ( / ? M ) .

(18)

Оценим сверху каждое математическое ожидание из внутренней суммы.

Смотрите также файлы