Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

170

ГЛАВА X

Теорема 2 выражает в некотором роде

расходимость

ряда

Фурье — Стильтьеса. Чтобы получить почти

всюду

расходящийся ряд Фурье — Лебега,

воспользуемся сле­

дующим предложением: если а0, а{,

ап, . . . — поло­

жительная

выпуклая

последовательность,

стремящаяся

оо

к нулю,

то ряд

а0 +

2 2

а„ cos nt является

рядом

Фурье

положительной

функции

f e L 1 (см. стр. 125).

со

оо

Пусть

^ т / < оо

и У } m, log

=

оо.

Положим

1

г

'

оо

/*du . ( o = 2 / t t ,f ( / - e / ) ,

где d\i

и

0/

имеют тот же смысл, что и в (1),

a f — функция,

удовлетворяющая условиям

сформули­

рованного

предложения. Эта свертка — случайная поло­

жительная

функция,

принадлежащая

L'(0, 2п). Част­

ными

суммами

ряда

Фурье

функции

f * d\x

являются

Sn(t;f*diL)=

2 Cmamelmt{a.m

=

-am),

m=—n

где Cm — коэффициенты

Фурье — Стильтьеса

меры dpi.

Для

заданного

множества

Л положительных

целых

чисел

положим

SA{t; f * d[n)= sup Sn(t;

f*d\i).

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

l7l

Sn{t;f*d\i)

= anSn{t', 4 0 + 2

Ст{ат-ап)еш.

и

Sn (/;

/

* d\i)

>

a„5„ (/; cfu.)

_

5л [t\

f

* d\i)

>

a „ S A (Z; 4 0 ,

если Л

конечно

и sup Л ^

п.

Поэтому, если выполнены

предположения

теоремы 2, то из (6) следует, что

lim ((0p av

) _ 1 5 л п ( ^ ;

f * 4 0 > 0 п. н.,.

р-> со

"

стремиться к нулю как угодно

медленно, то

в

предпо­

ложениях

теоремы

2

для

веякой

последовательности

сор = о (сор) (/?->• оо)

найдется

функция

f ^ L 1 ,

такая, что

п.

н.

lim /—т-5л

f * 4 0 ^

= °°

/гочги

всюду.

Отсюда

вытекает

интересное

следствие.

Т е о р е м а

3.

Если

заданы

возрастающая

последо­

вательность

положительных

целых

чисел

пх <

1ц < . . .

и

положительная

функция

ф (х) =

о (log log х)

(л:->-оо),

то существует

функция

.F <= L 1

(0, 2я), частные

суммы

Фурье

которой

удовлетворяют

условию

'тг-

Snk(i;F)

оо

почти всюду.

lim

—|-т7т— =

4(х) = о(х(х)),

%(x) =

o{\oglogx),

а рх, р2, . . . — последовательность

натуральных чисел,

таких, что

X(2"v)< - ^log/7 v l

p v > 2 P v _ ,

(v = 2, 3, . . . ) .

Положим

mi=-^r\—

при

J D V _ , < / < P V

(v»=2,

3, . . . ) •

Тогда

со

2 / п ; < о о

и coP y >oc(2p v).

Наконец,

пусть

A P v — множество

всех

п/,

таких, что

2 P v _ 1 <

/ <! 2Р у ,

и пусть

Л р

пусто,

если

р

не

совпадает

ни с одним из pv . Согласно упомянутому

предложению,

существует

функция

F e L 1 ,

такая,

что

lim

/

р \

(t;

F) — со почти

всюду.

V-»oo

у (^v)

Лру

Но так как

1

SA„

(/;

Р)>

sup

Sni (/; F)

*

( 2

М

p

v ) ^ ' ' ' '

* % v

_ U H

P v

+ (/>

то теорема 3 доказана.

б.

Преобразование

Пуассона

ряда 2 Е / / " А /

Начиная с этого момента мы будем

лишь

предпо-

лагать,

что

2

< 0 0

•

Через

с,,

е2 , . . .

и

i^Qi,

• ^ • 8 2 , . . .

обозначаются

последовательность Радемахера

и последовательность

Штейнгауза,

не

зависимые

друг

от друга. Иногда будет удобно

писать

Q — Яе

X ^о>

где последовательность

Радемахера

определена

на Q„,

а последовательность

Штейнгауза — на Qe . Если

задана

произвольная

функция

qp t = L 2

на

окружности,

то слу­

чайный

ряд

2

8/Я1/Ф (* -

6/)

(2 °)