Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

178

сходится п. н. в L 2 (гл. I I I , теорема 2, стр. 48).

Кроме

вательно,

он сходится п. н. почти

всюду.

Формально

ряд (20) есть свертка ряда (2) и

функции

ср. Мы

вер­

немся к этому соображению в п. 7.

Рассмотрим

случай,

когда

ср

является

ядром

Пуассона:

оо

P r W = l

+

2 £ r " cos nt -

, _ 2 ' , 7 0

; ;

+

r ,

(0 <

г <

1).

i

Имеем Pr*

Pr' =

Pn', т. е.

J

Pr{t-s)Pr'

(s)ds

=

P„,(t),

%e,miPr(t-B,)

(21)

сходится

п. н. в L 2 , то

ряд

0 0

сходится

п. н. равномерно

относительно

t

и

г',

если

г ' ^ Г д <

1.

Заменяя

гг'

на

г, мы

видим,

что

ряд (21)

сходится

п.

н. равномерно относительно t

и г

при

усло­

вии, что г ^

г0 < 1. Его сумму мы обозначим через и (re")

и назовем ее преобразованием

Пуассона ряда

(2). Заме­

няя Pr(t)

на

P(reli),

имеем

0 0

i

и(г)

=

^&,т,Р{ге~^1),

1

причем ряд

сходится п. н. равномерно на каждом

ком­

пактном

подмножестве

открытого

круга

| z | < l .

По­

скольку

функция Р (г) является гармонической

в круге

| z | < 1

(напомним, что она является действительной

частью

некоторой

аналитической

функции,

а

именно

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

175

Это

следует из оценок

\t\<a

J

X(Pr(t))dt<2nX(Pr(a)),

a<.|<| <я

если выбрать a = [~\~~%(J~T))

^'

Первый

интеграл

стремится к нулю в силу того,

что %{х) = о(х), а

вто­

р о й — в силу того, что lim-г-^— =

оо.

г->1 1 ~

г

к О

Пусть г (г) — убывающая функция, стремящаяся

при

г —.> 1 и такая, что

\х(РгЩ

Л < в ( г ) .

Для заданного

натурального

v положим

со

" v r =

2 ъ,т,Рг

(t — 9/).

/=2V+I

Так

как функция % полуаддитивна, то

/ х ( 1 " ( г е " ) 1 ) Л < в ( г ) 2 т /

+

j x(\uvr(t)

\)dt.

Выберем а и Ь так, что %(х)^а-\-

Ьх. Тогда

- ^ г

{ х ( 1 М 0

\)dtKa

+ -^

j\uvr(t)\dt^

^

a + b

Ы г 1 1 и

" ( 0 I2

d*)"* = a +

b|| « v r lb.

т , < |

( / = 1 , 2 , . . . ) .

^ ( l l " v r l | ) = l | P r l |

2

m 2 < - f - = 7 '

поэтому

/=2V+1

Если определить

возрастающую

последовательность

rv ,

стремящуюся к

1 так,

что

lim2V / 2 (1 — r v ) =

с», то

из

V - > со

леммы Бореля — Кантелли

получим

|"vr v | 2

=

o(l)

п. н.

Наконец, определим

последовательность

ntj

так,

что

2 V

e(/"v-i) S

wt/ =

o(l)

(v-*oo);

оо

2m/ =

°°'

m /

<

-

( i = l , 2,

. . . ) .

мящуюся

к с» так, что

S v + 1 — S v < 1/2 и e(r v _ |)5 v = o(l),

а затем положить /пу =

2 - v ( S v + i — 5V ) при 2V

< / ^

2 V + I . )

Считая

r v _ , < > < r v ,

имеем

e(r)^e(r v _ ,)

и | | u v r | | 2 ^

^

I «v / -v

jjg (так как среднее квадратическое

гармонической

функции

по

концентрическим

окружностям

есть

возра­

стающая

функция радиуса). Поэтому

v

Jx(l«

\)dt<B

(rv _,) 2 m/ + a + fr| wv ,v

^