Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

178

ГЛАВА X

0 0

а.-

QAt)=2%r«sinnt=

, _ 2

2г sin t

« > < r < i ) ,

2 ;

c t ; + r

2

sin/xr = -j-z:

рассмотрим

теперь ряд

Si e / m ^ ^ - e / ) .

(22)

Тогда

имеем

Qr

* PT> = Qrrr. По тем лее причинам, что и

для ряда

(21), ряд (22) сходится

п. н. равномерно отно­

сительно

/ и г ,

если

г < г 0 <

!•

Обозначим его сумму

через

v (re") и назовем

ее сопряженным

преобразованием

Пуассона

ряда

(2). Таким

образом,

u(z)

и а (г) —слу­

чайные

сопряженные

гармонические

функции

в круге

| г | < 1 .

Чтобы доказать теорему 4, мы покажем, что и

и v

почти

наверное

удовлетворяют тем же условиям, что g

и g,

если

последовательность

т./ выбрана

надлежащим

образом. На основании

предложения

1 достаточно дока­

зать

следующее

утверждение.

со

П р е д л о ж е н и е

2.

Если

2 т /

=

° ° . то п.

н.

lim| v (reli)

| = оо для

почти

всех

t и v{z)

почти

наверное

не принадлежат

ни

к

какому

классу

h^.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

2.

Так как

Q, (8; ) =

c t g _ , то ряд

2 ^ ( m i n ( l ,

mp*(Bt)))

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

179

оо

S m 2 Q 2 ( 0 / ) = o o п. н.

(23).

Далее,

для

каждого

заданного

t

функции

v(z)

и v (zeu)

— подобные гармонические

функции.

Поэтому

lim| v (re") | =

оо п. н. для каждого

заданного

t;

следо-

вательно, п. н. lim | v (relt)

| = оо почти

всюду.

Это пер-

г->1

вая часть предложения

2.

/

<»

\1/2

Р.(О = ( 2

- в , ) ) .

Согласно (23), имеем limp„(0) = oo п. и.; поэтому

П - >оо

Р ( р п ( 0 ) > р л

, п=\,

2, . . . ) > 1/2

для некоторой

неограниченно

возрастающей

последо­

вательности

р„. Кроме

того,

поскольку р„(^)

и рп (0)

подобны, то,

P(Pn(t)>Pn,

2, . . . ) > 1/2,

каково бы

ни

было t.

Так как событие, которое мы

рассматриваем, зависит лишь от 8j, 92 , . . .

(и не зависит

от е,, е2 , . . . ) , то можно писать

PQ,( )

вместо Р ( ) .

Пусть заданы t и последовательность

9 Ь

02, . . . так,

что р „ ( 0 > Р п Для л = 1 , 2 , . . . ,

и пусть

0 < Я < 1 .

Рассмотрим

следующее

событие

в

Qg:

оо

/ оо

у/2

т. е. | vn (relt)

I > Яр„(/).

Используя

неравенство Пэли—

Зигмунда

(2), см. стр.

49, имеем

Р 0

, ( I о (/-«е") I

>

Ь-Рп (/))

>

Л = - i - (1 - Я2)*.

Поэтому для

каждого

данного t

Р ( | о ( г „ е " ) | > Л р я ) > - Э . ,

л = 1 , 2

Если п задано, то через &

мы

будем

обозначать

(со, /)-

множество, где | v (r„e") | >

Яр„; через Et (t задано)

будем

обозначать

со-множество,

где

(<o,t)^&;

через

Еа

(со задано)

будем обозначать

/-множество,

где (со, t)

с= %,

и, наконец, через F будем обозначать событие mes

Eei>r\.

Имеем

я т ! < j P{Et)dt =

mes&=

j

+

J mes

£ В

Р ( А » ) <

поэтому

" < 2 n P ( f ) + T i ( I - P ( f ) ) ;

Записывая

теперь

/\,

вместо

/•",

получим

P ( H m F B ) > ( " ~ ° л.

Поскольку событие Fn

влечет за собой неравенство

J4{\o(rne")№>bvu(Pn),

то lim Fn

влечет

за

собой

v ф

для

всех

опреде-

П->оо

нуля и единицы v

ляющих функций

Согласно закону

п. н. не принадлежит ни к

какому классу

это

вто­

рая часть

предложения 2.

СЛУЧАЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МАССЫ НА ОКРУЖНОСТИ

181

7. Еще о случае

2 " * / в 1

До сих пор мы определяли ряд (20)

как формальную

свертку

ряда (2) и

функции

ср. На

самом

деле

мы

докажем,

что для всех функций класса С0 0

он почти

наверное

является

сверткой функции

<р и некоторого

формально коэффициенты

Фурье ряда (2):

C l l - S e / m / e - " , e / ( « = . . . . - 1 , 0, I , . . . ) .

(24)

Все эти ряды сходятся почти наверное; далее,

Сп—сим­

метрическая комплексная

случайная величина и, в силу

оо

предположения ^rrf^l,

имеем

# ( | С „ р ) = 1 .

Поэтому Р ( | С„ | > | п |) <Г 1//г2, т. е., согласно

лемме

Бореля — Кантелли, С„ =

О (| п |) п. н. Отсюда следует,

что ряд

некоторой

локально ограниченной

функции

(см. упр. 6)).

оо

Если Ф (/) =

2 Упеш—функция

класса С°° на окруж-

1

—оо

ности, то

при условии, что Сп — медленно

возрастаю­