Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

30

ГЛАВА II

если q достаточно велико, скажем q^qp. Теперь по­ ложим

1,

если

т^р,

Ьрт = аПр, т,

если

р <

т < qp,

0,

если

т >

qp.

Эти равенства определяют новую матрицу суммиро­ вания Т и, за исключением некоторого события с ве­ роятностью, не превосходящей 2 ( 2 - v + 2~ < v + 1 ) + . . . ) , конечные суммы

— 2 bpmXm

m=l

удовлетворяют неравенствам

\Zp-Znl<2-2-p

(p = v, v + 1 , . . . ) •

Отсюда следует, что ряд 2 Хп п. н. Г-суммируем.

Наш второй шаг состоит в определении возрастающей последовательности натуральных чисел р/, такой, что

"/ частные суммы 2 %п сходятся.

 

1

 

 

 

 

Положим Pi =

l ,

Pi+[ = qP/

(/=1> 2, . . . ) .

Если

предположить,

что

 

 

 

 

Хт

=

0

при p,<tn^pi+l,

(14)

то будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

Z'p.^ZXn.

 

(15)

'm=l

Следовательно, если (14) имеет место для бесконечного множества / значений индекса /, то частные суммы (15) п. н. стремятся к некоторому пределу при /—•<» по множеству / .

Теперь разобьем заданный

ряд 2-^п

на две части

 

1

 

2U; и

2 - е

(16)

1

1

 

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

81

где

 

К

=

Хп'

а

* * = 0

>

е с

л и

 

Р 2 / - 1

<

 

Р 2 / ;

 

 

К

=

0 '

3

Х'п

=

Хп>

е С Л И

 

Р 2 / < Л < Р 2 / + | -

 

Заметим, что 2Х'п— Хп=

± Хп

 

и

то же самое

спра­

ведливо для

2Х'п — Хп.

Так как

Хп — симметрические

векторы,

то

обе

последовательности

{2Х'п — Хп}

и

{2Х'п — Хп}

подобны

последовательности

{Хп},

а

следо­

вательно,

оба

ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2№-*„),

 

Ъ(2хъ-хп)

 

 

 

почти

наверное

обладают

теми

же

свойствами,

что

и

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд

i

 

Поэтому

ряды (16) п. н. Г-суммируемы. Для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р/г

 

 

 

 

этих

рядов частные

суммы

порядка

как мы

только

что

доказали,

п. н.

сходятся.

Следовательно,

частные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

суммы

порядка

р/ данного

ряда

2

Хп

п. н.

сходятся.

На последнем этапе мы используем лемму 1. Прежде всего заметим, что частные суммы порядка р/ сходятся по вероятности, т. е. для каждого tj > О существует номер / = } (г\), такой, что

если k > /. Согласно лемме 1, для каждого / и k имеем

 

Р/

sup

I 2

 

Хт\>ц\<2ц.

 

 

(17)

Записывая

неравенства

(17)

для

ti =

t]k =

2 - x ,

/ =

— /(л*) — Л,

и

к =

}{цк+х)

=

] к + х

(х =

ц, ц

+ 1,

. . . ) ' н

складывая, получим следующий результат: с вероят­ ностью, превосходящей 1 — 4 ^ , имеем

32 ГЛАВА II

при Р/ х < '

Г Д Е и =

ц, (х +

1

Пос

 

 

 

 

оо

частные суммы порядка р,

сходятся

п. н., то

ряд

2^п

сходится с вероятностью, как угодно близкой к еди­

нице, т. е. почти

наверное.

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, мы доказали, что

ряд 2 Хп

п. н.

сходится,

если он п. н. S-суммируем.

Оставшаяся часть

тео­

ремы 1 доказывается теми же рассуждениями с

очень

 

 

 

 

 

оо

небольшими изменениями. Предполагая,

что

ряд

2 %п

п. н. 5-ограничен,

определим

сначала

 

 

1

возрастающую

последовательность натуральных чисел р/ так, чтобы

частные суммы порядка pt

были п. н. ограничены. Для

всякого е > 0

существует

г =

 

г(е),

такое,

что

 

 

 

 

 

P/supl

2

* J | > r l < e .

 

 

 

 

 

Применяя

лемму 2

при Л =

{р/}, получаем

 

 

 

 

 

Р ^sup

2

хп

 

>Л<

2е.

 

 

 

 

 

Следовательно,

ряд

2^т

п. н. ограничен,

и

доказа-

тельство

завершено.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предыдущие

рассуждения

 

приводят,

между

прочим,

к следующему

результату: если Хп

— независимые

слу-

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чайные векторы

и ряд

2

Хп

сходится по

вероятности,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то он сходится

п. н. Другими

словами,

если

ряд

2-^п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

п. н. не сходится, то найдется

т) >

0 и

две

последова­

тельности

mv

т2

 

т\,

т'2,

 

. . . , такие,

что

/п, <

т\<

< т2< т'2< . . . и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р/|

2

 

гХп

> ^ > Л

 

при

k=l,2,

 

 

 

 

•СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

33

 

5. Ряды Радемахера 2 ± "л

 

 

Начиная с этого

момента

мы ограничимся рядами

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вида 2 е А > г Д е ип — векторы

в

банаховом

простран-

I

 

 

 

последовательность

Радемахера.

стве В, а е„ составляют

Если такой ряд сходится в пространстве В, то будем

писать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее, положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vn = Hi гтит

(Vn = Vn (со)),

 

 

 

Af = sup||VB ||.

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

М < оо. Из закона

Ряд называется

ограниченным,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

нуля и единицы

мы знаем, что ряд

2 е «"л

 

сходится

п. н. или расходится

п. н. и что он п. н. ограничен или

п. н. неограничен. В случае,

когда

он почти

наверное

сходится

(ограничен),

мы будем

исследовать

свойства

случайных

величин

|| V ||

(или

М). Грубо говоря, мы

докажем,

что если

мало

вероятно,

что

 

(или М)

велика, то совсем невероятно,

что эта величина очень

велика.

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а 3. Если

случайный

ряд 2е «и п

 

сходится

п. н. и его

сумма

V удовлетворяет

 

 

i

 

 

 

условию

 

 

 

 

P(\\V\\>r)<a/2

 

 

 

(18)

для некоторых г > 0 и а> 0, то

 

 

 

 

 

 

оо

P ( i m i > 2 r ) < a 2 .

 

 

 

(19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Еслиряд 2еп"л я- ч- ограничен

и

удовлетворяет

условию

 

 

Р (Af > г ) < a

 

 

 

(20)

 

 

 

 

 

 

2 Ж.-П. Кахан

Смотрите также файлы