ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
206 |
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА XII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3. Поведение функции вдоль радиуса; |
|
||||||||||||||||
условие |
сильной |
|
существенной |
расходимости |
|||||||||||||||
Займемся |
изучением |
поведения |
функции |
F{z), |
когда |
||||||||||||||
точка |
z |
стремится |
к |
|
границе |
по |
множеству Е, |
содер |
|||||||||||
жащемуся |
в круге | г | < |
1. Будем |
|
говорить, |
|
что F обла |
|||||||||||||
дает свойством сильной |
|
существенной |
расходимости |
на Е, |
|||||||||||||||
если |
п. н. |
|
lim |
|
\F(z) |
— а | = |
0 |
для |
каждого |
ком- |
|||||||||
|
|
|
|z|->T7ze£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ F(z)\=oo |
|
|
|||||
плексного |
числа |
а; если |
же |
|
lim |
|
п. н., |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|г|->|, г<=£ |
|
|
|
|
|
||||
то будем |
говорить, |
|
что F обладает |
свойством |
|
неогра |
|||||||||||||
ниченной расходимости1). |
Небольшое |
изменение |
в до |
||||||||||||||||
казательстве |
теоремы |
|
1 позволяет |
получить |
следующий |
||||||||||||||
результат: |
|
|
оо |
|
= |
0 0 , |
то |
F |
обладает |
|
свойством |
||||||||
если 2 # n |
|
||||||||||||||||||
сильной |
|
|
|
о |
|
|
|
расходимости |
на |
|
всем |
круге |
|||||||
существенной |
|
|
|
||||||||||||||||
| Z | < |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. |
Если |
2 а „ = |
|
оо |
и |
an |
= |
|
0{\IVn) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(п->оо), |
то F обладает |
свойством |
|
сильной |
|
существенной |
|||||||||||||
расходимости |
на |
любом |
радиусе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Нам |
понадобится |
следующая |
|
функция |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Р 00 = |
21 anr2n |
= |
&(\F |
(rela) |
|
|2 ), 0 < |
г < |
1. |
(7) |
|||||||||
|
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если с |
= 0 ( 1 / / / Г ) , |
то р'(г) = |
0(1/(1 — г)(г->1), |
и по |
|||||||||||||||
этому теорема 2 является частным |
случаем |
|
следующего |
||||||||||||||||
более |
общего |
утверждения: |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
3. |
Предположим, |
|
что 2 |
= |
0 0 > Р' (г) = |
|||||||||||||
==0(1/(1—г)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|||
и |
что |
ги |
|
гп, |
|
к |
...—положительная |
||||||||||||
последовательность, |
стремящаяся |
|
1 и такая, |
что по- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
следовательность |
р(гп) |
|
выпукла |
и |
|
2 |
1/р (гп) = 0 0 |
• |
Тогда |
||||||||||
функция |
F |
обладает |
|
|
свойством |
сильной |
|
существенной |
|||||||||||
J ) См. примечание на стр. 187. — Прим. |
ред. |
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА |
207 |
расходимости |
на |
[rn}n=l |
2 |
...> а |
т^^же |
|
на |
{г„е'а }л = 1 2 |
|||||
при любом |
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как |
ряды |
^ anZnzn |
и |
||||||||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
подобны, то если они почти |
наверное обла- |
|||||||||||
2 anZneinazn |
|||||||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дают каким-либо свойством на {гп}, |
они почти наверное |
||||||||||||
обладают |
этим |
свойством |
и на {гпе1па}. Нам достаточно |
||||||||||
доказать, что |
всякий |
круг п. н. содержит |
бесконечное |
||||||||||
множество точек F(rn), |
так |
как |
отсюда |
следует, что |
|||||||||
почти |
наверное |
|
каждый |
круг содержит |
бесконечное |
||||||||
множество |
точек |
F (гп ). |
Метод |
доказательства |
будет |
||||||||
таким |
же, как' и в гл. X I . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть D(a, |
е) — круг радиуса е с центром в точке а, |
||||||||||||
причем | а | -4- е ^ |
|
/. Далее, пусть % — характеристическая |
|||||||||||
функция круга |
D(a,e), |
а |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
И = 2 |
%(F(rn)). |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулы (29) и (30) (см. стр. 196), оценим |
8(ц) |
||||||||||||
снизу, |
а Ш(р.2) сверху. Так как limp(r) = |
oo, то из фор- |
|||||||||||
мулы |
(29) |
(см. |
стр. |
196) следует, |
что |
& (% (F (г))) "> |
|||||||
>яе2 /(2р(г)), если г достаточно велико, скажем г > г{1, е).
оо |
|
|
|
|
Далее, поскольку 2i 1/р (гп) — °°> |
имеем |
|
||
* M > I T - t j h - > 1 |
- |
|
||
|
л=| |
|
|
|
если N достаточно велико, скажем |
N |
(I, г). Фор |
||
мула (30) (см. стр. 196) |
дает |
|
|
|
&(%(F(r))%(F(r')))< |
p(r)p(r')-\&(F |
|
(r)F(r'))\* |
|
|
|
|||
НО |
|
|
|
|
${W) F (г')) = |
2 ayr'n |
= |
p ( У Т Р ) . |
|
208 |
ГЛАВА XII |
А поскольку р'(г) = О (1/(1 — г)), то
р= Р (г) + о ( J л / d - о ) < Р (') + К.
Поэтому, |
если |
г' > г, |
то |
|
|
|
|
|
|
||||
Р (г) Р (г') - |
Р 2 ( / " ' |
) |
> |
Р (г) р (г') - |
р2 ( у 7 ) > |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
> Р ( Г ) Р ( О - ( Р ( 0 + ^ ) 2 |
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
Р(г) (Р ( г ' ) - р ( г ) ) - / С ( 2 р |
(г) + / 0 . |
|||||
Предположив, что р (г') > р (г) + |
4К > 5/С, легко |
находим |
|||||||||||
|
Р (г) Р (г') - |
Р 2 {V7F) > (1/4р) (г) (р (г') - |
р » ) . |
|
|||||||||
Поэтому, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
Р |
|
> |
Р (/"„) + 4/С> 5/С |
( л = 1 , 2 , |
. . . ) . |
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8(x(F(rn))%(F(rJ))<p{rnnp^_p{rn)) |
|
|
|
|
(1 < „ < т). |
||||||||
Предполагая, |
что |
неравенство |
(8) справедливо, |
имеем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
v ^ |
' |
|
|
Л |
|
р (г„) (р (rm ) - р (/•„)) |
1 |
р (Г„) |
|||||
|
|
|
l<n<m<W |
|
|
|
|
|
|
||||
Так |
как |
последовательность |
р (гп) выпукла, |
то р (/-,„) — |
|||||||||
— P (rn) > |
р (/-„_„), |
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
If (р.2) < |
32^2 (ц) + |
2# (ц) < |
34#2 (ц). |
|
|
|||||
Следовательно, на основании неравенства I I (см. стр. 19) |
|||||||||||||
Р (р, > 0) > |
1/34. В конечном счете при условии А/ ^ |
N (/, е) |
|||||||||||
вероятность того, |
что круг D{a, е) содержит |
по крайней |
|||||||||||
мере |
одну |
из точек F(r,), |
|
F(rn), |
больше |
1/34. |
|||||||
Для |
N^N(l,e,v) |
F(z) |
имеет |
место |
то же |
самое при |
|||||||
замене функции |
функцией |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fv |
(«) = 2 |
|
anZnzn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V+I |
|
|
|
|
|
|
Причина |
заключается в том, что разности |
р (rm ) — р(г„) |
не могут |
сильно измениться, если р(г) |
заменить на |
|
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА |
209 |
||||
p v (г) = |
2 alr2k |
и если п |
достаточно |
велико. Положим |
||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
К' (z) = |
2 |
anZnzn. |
|
|
|
|
|
v+I |
|
|
|
Если |
заданы -v |
и N^N |
(/, е, v), то |
мы можем |
подо |
|
брать v' столь большим, чтобы круг D(a, 2е) с вероят ностью, превосходящей 1/50, содержал по крайней мере одну из точек / \ ( г , ) , . . . , F^' (rN).
Теперь предположим, что е и а фиксированы. Кроме того, пусть справедливо неравенство (8). Мы можем резюмировать ситуацию следующим образом: суще
ствуют |
две |
функции |
N = N(l,v) |
и v* = |
v*(/, v), |
такие, |
|||||||||||
что если |
v'^v" |
и D — круг радиуса |
2е, |
содержащийся |
|||||||||||||
в круге |
|
D (0, / + |
| а | -f- е), |
то |
вероятность |
того, |
что D |
||||||||||
содержит |
одну |
из |
точек |
F% (г„), |
/ г = 1 , |
2, |
N, |
прево |
|||||||||
сходит |
1/50. |
|
/ (v, N, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выберем |
/ = |
а) |
|
так, |
чтобы |
вероятность |
нахо |
||||||||||
ждения |
всех |
точек |
FQ (rn) |
(п = |
1, 2, . . . , |
N) в круге D (0, /) |
|||||||||||
была больше, чем |
1 — а. Затем определим |
три последо |
|||||||||||||||
вательности |
//, |
N/, |
V/ |
так, |
что |
|
|
|
|
|
|
||||||
/ , > 0 , |
|
N, = |
N(^,0), |
|
v j ^ v ' t f , , |
|
0), |
|
|||||||||
|
|
= |
I (v/ ( |
N„ |
Д-j, |
|
Nj+l |
= |
N (l,+u |
|
|
v,), |
(9) |
||||
|
|
|
|
v / + I > v * ( / / + 1 , vy ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
( / = 1 , 2 , |
|
. . . ) . |
Пусть |
|
At |
|
обозначает |
|
событие: |
«круг |
|||||||
D(a, 2e) содержит |
одну из точек F*i (гJ, п = |
1, 2, ... , уУ;». |
|||||||||||||||
Тогда можно применить предложение 4 гл. XI (см. стр. 197) |
|||||||||||||||||
при <7;= 1 — 1/(/— |
|
1) |
и р / = 1/50. |
Следовательно, |
собы |
||||||||||||
тия Л/ п. н. наступают бесконечное множество раз. |
|||||||||||||||||
Если |
\j достаточно |
велико, |
то вероятность того, что |
||||||||||||||
все точки F " (гя ) (п = |
1, 2, |
. . . , |
Л^) лежат |
|
в круге Z) (0, е), |
||||||||||||
больше, |
|
чем |
1—2- / . Поэтому, если последователь |
||||||||||||||
ность V/ возрастает |
достаточно |
быстро |
и |
выполняются |
|||||||||||||
условия |
|
(9), |
то отмеченный факт имеет место |
п. н., |
|||||||||||||
если / достаточно |
велико. |
Поскольку |
F (r^j = F*i (rn ) -f- |
||||||||||||||
210 |
ГЛАВА XII |
|
|
+ Л>у(Гп), то круг |
D{a, Зе) п. н. содержит |
бесконечно |
|
много точек F(rn). |
Если удовлетворяющая |
предположе |
|
ниям теоремы 3 последовательность ги г2, |
..., |
гп, . . . не |
|
удовлетворяет условию (8), то мы всегда можем выде
лить |
подпоследовательность этой |
последовательности |
|
г,, |
г„, |
удовлетворяющую |
как условию (8), так |
и предположениям теоремы 3. Этим доказательство теоремы заканчивается.
Некоторое уточнение теоремы 2 дается в упр. 2.
4. Поведение функции вдоль радиуса;
свойства неограниченной расходимости
Приведем сначала очень простое предложение, кото рое является обратным к теореме 3.
|
Т е о р е м а 4. |
Пусть |
ги |
гп, |
— |
положительная |
|||
последовательность, |
стремящаяся |
к 1 и такая, |
что |
||||||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1/р(г п) < |
°°- Тогда |
F обладает свойством |
неограничен- |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной расходимости |
на {гп }„= , 2_ |
, а также на {/"„е"1}^, |
2 |
||||||
при |
любом |
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
опирается |
на лемму Бореля — |
||||||
Кантелли и проводится аналогично доказательству пункта а) теоремы п. 6 в гл. XI (см. стр. 99).
Из доказательства следует даже лучший результат, а именно
Докажем некоторое обращение теоремы 2:
Т е о р е м а |
5. Если |
последовательность п-^ап |
убывает |
при некотором |
% > 0 |
и |
|
|
2 |
1 / ( л „ ) < о о , |
(П) |
1
то F обладает свойством неограниченной |
расходимости |
на любом радиусе. |
|