Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

211

Д о к а з а т е л ь с т в о

основывается на предложении,

которое имеет и самостоятельный

интерес.

П р е д л о ж е н и е .

Почти наверное

справедлива

оценка

F (г) == О (]/р (г) log [р (г)/( 1 -

г)]) (г->1).

(12)

Докажем

это

предложение.

Почти

наверное

Zn

=

— 0(Y\ogn)

(предложение

3 гл. XI , стр. 196). Следо­

вательно,

п. н. имеем

F'

(г) =

0(5 (г)),

оо

где

s(r)

=

2 i

nanV

log п rn~

i

Мы

можем предположить,

что j

s{r)dr

= oo.

Опре-

Ч

о

делим

г/ из равенства

J" s(r)dr

=

j .

Тогда

п. н. имеем

о

sup

F(r)-F(r,)\=0[

J"

s(r)dr

=

rj<r<rl

+ l

\Г/

=

0(1)

(/Woo).

(13)

Снова

используя

предложение

3 гл. XI , имеем п. н.

Далее,

f ( 0 ) =

0(VP('/)k)g/)

(/-+оо).

Г

/со

\ 1/2 /

оо

\ |/2

JS (r)dr<^4^j

( ^ l o g ^ 2

" j

< V 7 W / ( l - r ) .

Следовательно,

(Г,) log [р (/•/)/( 1 -

г/)])

(/ -> с») п. н.

F (г/) =

О

(V?

и,

используя

(13), получаем (12).

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

5.

Достаточно до­

казать

свойство

неограниченной расходимости на ради­

усе

[0,1].

Применяя

доказанное

предложение

к

F't

212

ГЛАВА XII

имеем п. н.

F'

(г) =

0 ( 0 (г)),

где

/ «

i « V „ r 2 » - 2 V / 2

Согласно

предположению,

а„ =

0(л*)

( я - ^ о о )

(14)

при

некотором

к.

Тогда

log (

|

п*ау»-*}

= О (log

1/(1 - г))

и

<г(г)<й' 2

2 ^

2

a*r*»Y*(log(l/(l - r))) , / 2 - ft's(r) .

(Конечно,

здесь

s(r)

имеет

другое

значение, нежели

в доказательстве

сформулированного выше

предложе-

г /

ния.)

Определим

г/ из равенств

J" s(r)dr=j

(1=2, . . . ) .

о'

Как

и ранее, п. н. имеет

место

(13): неограниченная

ной расходимости

на

{г/}/ = 1

2

. Согласно

теореме 4,

неограниченная расходимость

на {г/}/ = | 2>

вытекает из

оо

°°>

которое

эквивалентно условию

условия 2 1/р(г/) <

l

^ d

r

<оо.

(15)

о

Введем обозначения s,= /

2

a!V/ 2 и r k — l ~ % ~ k

fe

'

\2/<п<2/+1

/

Так как 1/4 < г\ < е -

1

, то

p ( ^ ) ^ i V ( s 2 +

••• +s2)>

s ^ K ^ f b ' s / i

2

г ^ е х р ! - ^ - * - ' ) )

\У=1

/=*+!

J

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

213

Согласно

предположению,

последовательность

п~жап

убывающая;

поэтому

s,+i<[

2

« - 2 x a „ ) 1 / 2 2 K ( / + 2 » <

\2/+l<«<2/+ 2

/

;n <2/+i

I

< 2 2 * + 1 / % ;

следовательно,

2 2 / s / exp( - 2 / - f t

- ' ) =

0(2u sf t )

(*-*>«>).

/=fc+i

Кроме

того,

2 2 ^ , <

2 22 /

2 * 2

/-1

V/=i

/

\/=i

Поэтому

(16) следует из условия

оо

k

\1/2 < оо.

fc=l \\ *s-2.+-+- •••...

+-+•4St, J

Далее,

fe=I

из условия (11) следует

со

2

в*1

< ° ° -

(17)

fe=i

Пусть

обозначает

член последовательности {sft},

рас­

положенной

в возрастающем порядке. Тогда

^1+

... +sij

\s{

+

... +S2fe/

^

214

ГЛАВА XII

5. Поведение функции вдоль направлений,

отличных от радиального; условия

сильной

существенной расходимости

Назовем

циклическим

множеством

объединение ок­

ружностей

\ z \ - r ,

где г

принадлежит

такому

подмно­

жеству

5

полуинтервала

[0,1), что

s u p S = l .

Т е о р е м а

6. Если

последовательность

ап

монотонна,

со

2 а п =

оо и ап — о ]/п/ log п),

то F обладает

свойством

сильной

существенной

расходимости

на всяком

цикличе­

ском множестве.

Кроме того, существует

функция

Ф(Г),

заданная

на

[0,1),

убывающая

и

стремящаяся

к

нулю

прит^-Х

и такая,

что для

любой

области

G =

{z: а ( г ) <

< argz < а(г) -f- ф(г)} и всякого

циклического

множества Е

пересечение

E[\G

содержит счетное множество,

на кото­

ром F обладает

свойством

сильной

существенной

расхо­

димости.

нию, в

нашем случае dT(u.2) = oo и такой

метод непри­

меним.

С другой стороны, если в качестве % взять гаус-

совскую

функцию,

то можно подсчитать

(ja) и df (ц.2)

и воспользоваться

оценкой

р (и > л а д ) > ( i - Д ) 2 - | ^ }

(о < ж 1).