ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА |
215 |
положим %(z) = е~яА | z _ z » l ' и
\%(F(re*))dx(Q).
Для данного Я,е(0,1) рассмотрим такое d > 0, что
|
|
|
|
е~*м^Х8 |
(\i). |
|
|
(18) |
|||
Если |
р, > |
Х8 (ц), |
то |
|
найдется |
Э, |
принадлежащее |
||||
носителю |
dx |
и такое, |
что |
%(F(re19)) |
> е~пМ\ |
т. |
е. |
||||
| F(relB) |
— z0\< |
d. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|||
P(36esuppdT| }F(re'e)-z0\<d)>(l-Xf-P^. |
|
(19) |
|||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
DO |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p( r , |
0) = |
8(F(re1 |
<e+«) /='(re'<p)) = 2 |
a2f-neM. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Имеем |
p(r) = |
p(r, |
0). |
Величины |
8(\i) |
и 1Г(м.2) можно |
|||||
подсчитать |
следующим |
|
образом. |
Полагая |
|
|
|||||
£ ( а д ) = J е2 "' RMzu/)^^) |
rf0(z) |
= -Lе-Ш) |
I а> l3+2Jtf |
Re (гй*)) |
|||||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем (из формул для преобразований Фурье на стр. 189):
8 (г (F (ге'°))) = | 8 |
{е-2*1 R e |
£ (t») rfa (w) = |
С |
|
|
J |
g-лр (г) I oi |»в-(яМ) |
I bp Vgnl Re (г„ш) ^.(лц)^ |
Л С |
|
|
е-Я[Л/(Лр(Г)+|)) |z,|».
|
"~ |
Лр (r) + 1 |
|
|
|
8W(re"))%(F(re*'))) |
= |
|
|
|
|
J |
(е -2я< Re (tf>F (rety+w'F (ге'в')) л ^ |
^ |
d c J ^ rfg (ffi)')) = |
||
С |
|
|
|
|
|
1 |
J в -яф (tu, ар')е2я( (2,ф+г,в') |
(w) |
da (w') — |
||
= Л2 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
р-яф* (г., г,) |
||
(Лр(г) + 1 ) 2 - л г | Р ( г , е ' - е ) | г |
» |
216 ГЛАВА XII
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$(w, |
ш') = |
(р(г) + |
МА){\w |
|2 + |
| о/ |2 +2Re(aure»'p(r, в7 —в)), |
||||||||||||
|
|
ih'fz |
|
г) |
|
SI=.,P |
Р И |
+ |
1М - |
Re р (г, 6 ' - |
В) |
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а |
w |
|
|
Ар (г) + 1 е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
& Ы |
2 ) = |
Г Г |
|
|
dx(Q)dr(Q') |
е _ ^ ( |
г о . г . ) _ |
||||||||||
в |
^ > |
|
J J ( Л р ( г ) + 1 ) 2 - Л 2 | р ( г , 6 ' - 9 ) | * е |
|
|
— |
|||||||||||
|
|
|
|
J |
( Л р ( г ) + |
1 ) 2 |
- Л 2 | р ( г , 9)|* |
в |
|
|
|
|
|||||
где |
dx'(Q) |
означает |
свертку |
dx(Q) |
с |
собой. Если |
в |
при |
|||||||||
веденных |
выше |
выражениях |
z0 |
= |
0, |
то вместо |
|
&(ц) |
|||||||||
и <8{\ь2) будем |
писать соответственно |
& (р0) |
и «^(ц2,). |
||||||||||||||
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
2 |
|
fl21 |
= |
0 0 |
i |
т 0 |
отношение |
#"2(ц.)/с?Г (и2 ) |
сколь |
||||||
угодно |
близко |
к <g2(ji^l<8(р.2,) |
при |
достаточно |
малом |
||||||||||||
1 — г. Теперь |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
ад)-^2(^0) |
|
|
= |
у ^ ( ц 0 ) , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гЛ 2 | р ( г , 9 ) ) ^ т - ( 9 )
V ~ J (Лр(г) + 1 ) 2 - Л Ч р ( г , 9 ) | 2 •
Чтобы применить неравенство (19), оценим у:
J Л ( Р 2 ( г ) - | р ( г . е ) | 2 ) + 2 р - 1 С )
J А (р2 (г) | р (г, 8) | - 2 — l) + 2 р - 1 (г) '
Так как последовательность а„ монотонна, то все коэф-
со
фициенты Тейлора функции (1 — z) 2 #„z" имеют один
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА |
217 |
и тот же знак; поэтому
|р(г, |
в ) ( 1 - г а е » ) | < р ( г ) ( 1 - ^ ) ; |
2 |
1 - Л ' 9 2 |
и, |
наконец, |
л |
|
|
|
|
|
|
|
4А dx' (9) |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Jя А (I - г ) - 2 9 2 + 8 р - ' ( г ) |
|
||
|
Возьмем сначала dx(0) = dQ/2n; тогда aV(9)=d8/2tt и |
|||||
|
|
|
Y < C ( l - r ) 1 ^ 4 p l F ) , |
|
||
где |
С — абсолютная постоянная. |
Предположим |
теперь, |
|||
что |
z0 и d |
фиксированы и задано циклическое |
множе |
|||
ство |
| z | e S . |
Положим |
Я = 1 / р ( г ) |
и А = {l/d2)log р(г). |
||
Если |
1 — г |
достаточно |
мало, то |
справедливо |
неравен |
|
ство (18) и правая часть неравенства (19) сколь угодно близка к dT2(|i0)/<3' (у.*) = 1 — у. Кроме того,
Y = 0 ( ( l - r ) / p ( r ) l o g p ( r ) ) .
и поэтому у = o(l)(r-> 1). Если записать неравенство (19) для г = r „ e S и выбрать последовательность г„ так, что она будет стремиться к 1 достаточно быстро, то, при меняя лемму Бореля — Кантелли, заключаем, что образ окружности | z | = гп при отображении F п. н. пересекает круг D(z0, d), если п достаточно велико. Это доказы вает, что F обладает свойством сильной существенной расходимости на всяком циклическом множестве.
Теперь выберем qp(r) так, что ФМ = о(1),
( l - r ) / p ( r ) l o g p ( r ) = o(«p(r)) |
(r-+l). |
218 |
|
|
|
ГЛАВА XII |
|
|
|
|
|
Если |
заданы |
множество |
G: а (г) < argz < |
а (л) -f- ф (г) |
и |
||||
циклическое |
множество |
E = {z, | z | е |
5}, |
то положим |
|||||
dx (0) = |
dO/ф (г) |
при 8 s [ a (г), а (г) + |
ф (г)] |
(mod |
2я) |
и |
|||
dx(9) = |
0 в противном случае. Тогда |
dx' (0)/d0 < |
1 /ф (г) |
||||||
и на |
основании |
(20) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
у < С - ^ у г Л р ~ ( 7 ) . |
|
|
(21) |
||
Рассуждая, как и выше, мы видим, что F обладает свойством сильной существенной расходимости на E[\G.
Наконец, неравенство (21) остается справедливым, если заменить dx{Q) суммой подходящих точечных масс на [а(г), а (г)-\-q> (г)]. Следовательно, F обладает свойст вом сильной существенной расходимости на счетном подмножестве из E[)G. Этим заканчивается доказа тельство теоремы 6.
6. Неограниченная расходимость на циклических множествах
В противоположность теореме 6 мы докажем, что справедлива
Т е о р е м а |
7. Если |
lim |
ап/ Yn |
log п = |
со, |
то F |
обла- |
|||
дает |
свойством |
|
|
п->оо |
|
расходимости |
на |
неко |
||
неограниченной |
||||||||||
торых |
циклических |
множествах. |
|
|
|
|
|
|||
Доказательство |
основывается |
на |
двух |
леммах. |
|
|||||
Л е м м а 1. |
Пусть |
Fx |
FN |
— комплексные |
гаус- |
|||||
совские случайные |
величины |
типа ^ |
]/р, |
и пусть б > 0. |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (min(| У, |, |
. . . . |
| Р л , | ) > б / р 7 л О > |
1 - я . б 2 . |
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Р (min(| |
|, |
1 ^ 1 ) < 6 - | / ^ ) < Л / - ^ . |
|
Л е м м а 2. |
Если |
Z,, . . . , |
Z„, . . . — нормальная после |
довательность, |
а Ьи |
Ьп, |
— такая положительная |
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА |
219 |
последовательность, что 2 |
Ьп < оо, то |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
Р |
sup 2 6„Z„e |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
где |
Nk = 22 , а р{Х)— |
функция, которая |
не зависит |
от Ьп |
|
и стремится к 1 при |
X —>оо. |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Выкладки те |
же, что |
и на |
||
стр. 111, но в применении |
к гауссовским тригонометри |
||||
ческим полиномам; отправным моментом является тео рема 2 гл. V I (см. стр. 99).
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы 7. |
Если заданы |
|
г < 1 и N, то |
имеем |
|
|
(min |
F[re N |
) > б |
яб2 |
(лемма 1). Кроме того, |
если положить |
|
|
о - ( г ) = 2 2*'2
4=1
то
Р (sup | F't {re") t
2 |
2 2 2л-2 |
1/2 |
(22) |
||
|
апп г |
|
I < Xa (r)) > p {X)
(лемма 2). Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||
P (minI P{re") |
I > б У*P- |
- ^ |
a |
W) |
>PW- |
||||
|
|
4n2№o2 (r) |
|
|
|
|
|
|
|
Выбирая N =—62^(7) |
• имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
Р ( т Ш | / ' ( г в « ) 1 > 1 2 г ^ ) > Р ( М - я в « . |
|
|||||||
Определим |
две последовательности |
Хи |
|
Хп, |
и |
||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
б|, |
б„, . . . так, |
что |
2 ( 1 — Р(^п) — яб2 ) < |
оо. Тогда" |
|||||
|
|
|
|
1 |
гх |
|
|
|
|
для |
любой |
последовательности |
|
г„, . . . имеем |
|||||
п. |
H . l m i n F ( r n e » ) l > 4 ^ - ^ |
при |
д>Яо(а>). |
(23) |
|||||