Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

221

Т е о р е м а 8. Если

lim (а„/|//гlogп) — оо, то F п. н.

принимает каждое

/1->оо

значение.

комплексное

Отметим,

что

ни теорема 6,

ни теорема 7 не при­

менимы, если an=Yn.

За исключением этого случая,

при ап=*па

ситуация

вполне определена, если речь идет

о неограниченной

расходимости

или о сильной суще­

найти в упр. 3 и 4.

Напротив, теорема 8 отнюдь не

является удовлетворительной

и у нас нет никаких идей

о том, заполняет ли

множество

значений функции F

п. н. всю плоскость, если ап

= па,

— 1/2 < а ^ 1/2.

7.

Упражнения

00

1. Пусть 2 а

„ = 0 0 1 и

пусть \in — последовательность

положительных

мер полной

массы

1, сосредоточенных

в круге | г | <

1 и таких, что их носители скапливаются

у границы.

Докажите,

что найдется такая

последова­

тельность

случайных

подмножеств

круга

| z | < l , что

lim ц я ( £ „ ) =

1/3, а

Л-»оо

lim

inf | F(z) | =

оо.

Q J S / = O °

И si — 0{\);

2~lkSj

убывает при некотором

k>o

и 25/"'<°° ;

VW=o(si).)

со

3.

Дайте

оценку

сверху

для 2Y" r " П Р И Yi =

о

4. Пусть

F(z) =

^inaZnzn

( а >

—1/2).

Определите

о

две такие функции <р(г) и

гр (г),

что

п. н. ф (г) =

О (min | F (reil)

|)

и

max | F (re11)

| =

=

0(а|,(г)) (г - *1) .

(Методы

те л<е,

что и

в

п.п.

5

и

6;

оо

5.

Пусть опять F(z)

=

^anZnzn.

Вычислите

8(1)

и

где

,

1

г

F'(relQ)

.

2я" J " T T v T

Дайте

оценку

снизу для

Р ( / ^ 1 ) .

(Воспользуйтесь

упр. 3 на

стр. 201.

Полагая р(г,

9 ) =

=

0 0

оо

2 а ^ е " * 8

и ст (г,

0) =

2

n a ' r V ,

будем

иметь

у

т =

g < r ' °)

и

1

;

р ( г . О )

и

2л

Х(Т*\ = Х*(Г\ Л- _!_

Г 1 Р (г. 0) g (г, 8) — р (г, 6) а (г, 0) |г

2я

J

p«(r,

0)

(р2

(л, 0) -

| р (г, в) |2 )

е > 0 . •• . •

к

( Воспользуйтесь неравенствами

и

2 2 ' s / < 2 w

\

/=1

s\ + s\+ . . .

+^>k8l)