Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

точное условие того, чтобы множество было множе­ ством аналитичности (т. е. в некотором смысле имело противоположный характер по отношению к множеству Сидона или Хелсона).

Глава VII

Идея общего подхода к рядам Радемахера, Штейнгауза и гауссовским тригонометрическим рядам пред­ ложена в работе Пэли, Винера, Зигмунда [1], но авторы рассматривали только гауссовские ряды и использовали в основном специальные свойства броуновского движе­ ния. В 1951 г. Г. Хант рассмотрел ряд (1) (даже без предположения, что Хп симметрические) и дал доста­ точное условие для существования п. н. непрерывной

Величины si были введены Пэли и Зигмундом для того, чтобы получить необходимое условие сходимости

Глава VIII

Еще в 1932 г. Пэли и Зигмунд [2] установили тео­ рему 1 для рядов Радемахера. Однако их доказатель­ ство в нашем случае не проходит, но, как отмечено в статье Кахана [5], оно применимо к рядам Штейнгауза. Лишь в 1963 г. доказательство теоремы 1 было дополнено Биллардом [2], который локазал, что ряды Радемахера и Штейнгауза, имеющие одинаковые коэф-

зультат Кахана [5]. Лучшего результата не известно даже в случае броуновского движения, для которого этот результат с помощью комбинаторных методов по­

Глава IX

Основным источником является статья Билларда [4], которая содержит теоремы 1 и 2 и главный результат для случая /„ = 1/я. Наш подход в этом случае является иным.

Теорема 6 будет опубликована в обзорной статье Кахана [13].

Глава X

По поводу первой части этой главы сошлемся на статью Кахана [6], которая содержит теоремы 1 и 2. При ttjt = k теорема 3 может быть получена с помощью конструкции Колмогорова, но, насколько мне известно, в общем случае этого сделать нельзя. Поведение ча­ стичных сумм ряда Фурье — Лебега почти всюду пока остается загадкой. Теорема 3 не препятствует тому, чтобы

, которая не является функцией спектрального синтеза; в качестве / берется Fp, где F определяется гауссовским рядом Фурье.

Глава XIV

Относительно броуновского движения см. работы Леви [2], [3] (общая теория, одномерный и р-мерный

цессов приведены в заметке Беляева [1]. В периодическом случае (гауссовские ряды Фурье) результаты, обзор ко­ торых дается во введении к гл. XIV, являются более точными. Естественной задачей является распространение их на все гауссовские стационарные процессы.

Глава XV

Теоремы этой главы сформулированы в статьях Ка " хана [11] и [12].

Насколько мне известно, теорема 4 является един­ ственным способом получения множеств Салема размер­ ности а > 1 (кроме случая целого а).

Исключительная роль функции h0(t) = log l/t)~l от­ носительно /W-множеств проявляется также при рассмо­ трении «множеств сдвигов»; это недавно выяснил МакДжим [1]. Тем не менее для всякой функции h (t) существует /И0 -множество с нулевой /г-мерой (ИвашевМусатов [2]).

лярная положительная мера на прямой, сосредоточенная

Мусатова требуется строить очень нерегулярные мно­ жества (в большей степени нерегулярные, чем случай­ ные множества, рассмотренные в этой главе).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[3]Series de Fourier aleatoirement bornees, continues, uniFormement convergentes, Siudia Math., 22 (1963), 309—329.

[4]Series de Fourier aleatoirement bornees, continues, uniformement convergentes, Ann. scienl. Ecol. Norm. Sup., 82

(1965), 131 — 179.

Борель (Borel E.)

[I] Sur les series de Taylor, C. R. Acad. ScL, Paris, 123 (1896), 1051—1052.

Бретаньолль и Дакунья-Кастелле (Bretagnolle J., Dacunha-Caslel- le D.)

[1]Transience el recurrence de certaines marches aleatoires поп stationaires, C. R. Acad. ScL, Paris, 256 (1963), 4584—4586.

Бохнер и Чандрасекхаран (Bochner S., Chandrasekharan K.) [1] Fourier transforms, Princeton, 1949.

ings of the International Symposium on Linear spaces, 1960, Jerusalem, 1961, 123—160.

Дворецкий и Эрдёш (Dvoretzky A., Erdos P.)

[1]Divergence of random power series, Michigan Math. Journ., 6 (1959), 343—347.