Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ЗАМЕЧАНИЯ

Глава I

Хотя материал первой главы вполне классический, тем не менее трудно ограничиться указанием одного

источника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подход

Штейнгауза

к теории

вероятностей

заим­

ствован из его статьи [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие независимости и произведение вероятност­

ных

пространств

рассматривались

Колмогоровым

[2],

но удобнее всего сослаться на книгу

Лоэва

[1], стр.

237.

По

поводу

всех

теорем

п.

6 мы

отсылаем

читателя

к книге Лоэва [1], а также (по поводу теоремы

Фубини)

к книге Сакса [1], стр.

118.

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство

I I (см. стр.

19)

имеет

важные

прило­

жения, о чем я узнал из статьи Салема

и Зигмунда [1].

Аналитические множества были определены Лузи­

ным

[1] точно так же,

как

они

введены

здесь.

Изме­

римость аналитических множеств доказана в книгах Лузина [1], Сакса [1], стр. 79, и Мейера [1], стр. 63.

Глава II

Методы суммирования, которые мы здесь рассма­ триваем, являются более общими, чем классические методы суммирования Теплица, у которых последова­ тельности аПо аП1, . . . имеют по предположению равно­ мерно ограниченные вариации. Упражнение 13 дает естественный пример, когда условие Теплица не выпол­ няется.

Для метода Теплица и действительного случая тео­ рема 1 доказана Зигмундом [1], а теорема 2 — Марцинкевичем и Зигмунчом [1] и независимо П. Леви [1]. Обращение теоремы 2, содержащееся в упр. 2, пред­ ложено Таккером [1]. В действительном случае тео­ ремы 1 и 2 можно получить методами гл. I I I (как это сделано в статье Зигмунда [1] и Марцинкевича и Зиг-

ЗАМЕЧАНИЯ

 

281

мунда [1]. В этом случае сходимость

и ограниченность

равновероятны.

 

 

Лемма 1 (неравенство П. Леви) является классической

(см. Лоэв [1], стр. 261).

 

 

Результаты о последовательностях

Радемахера

сфор­

мулированы в статье Кахана [9], где

была дана

лишь

схема доказательств. В частном случае тригонометри­

ческих рядов класса L°° принцип

сжатия (теорема 5)

был ранее открыт и использован

Биллардом [3]. Ос­

новная цель заметки Кахана [9] состояла в том, чтобы дать упрощенное изложение теории Билларда, содер­ жащейся в гл. V.

Сходимость и расходимость почти наверное последова­ тельностей Радемахера рассматривались также Нордлендером [1] для случая, когда В является гильбертовым

пространством

или

B = Lp{0,

1)

( 1 < / ? < о о ) . В

этом

случае

для

всякой

последовательности fk

единичных

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

векторов

из

V

(О,

1)

ряд 2

± akfk

п. н. сходится

при

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2l ak f

<

оо,

где /?' =

inf (2, р). Нордлендер

также

рас-

оо

сматривает свойства всех рядов 2±мл> которые имеют

место наверное;

более полное изложение этих вопросов

содержится в статье

Дворецкого

[2].

 

 

 

Следующие

две

проблемы

являются

открытыми.

1) Для

каких

банаховых пространств

сходимость

и

 

 

 

со

 

 

 

 

 

ограниченность

ряда

2

± и п имеют одинаковую вероят-

ность?

2) Для

каких

распределений и. в

теореме 4

ряд

ОО

можно

заменить

0 0

где

Хп — неза-

2еА

рядом ^Хпип>

I

 

 

 

I

 

 

 

 

висимые подобные случайные величины с распределе­ нием р.?

Глава III

оо

Случай действительного ряда Радемахера 2 ± «и

I

впервые был рассмотрен самим Радемахером [1], кото-

282 ЗАМЕЧАНИЯ

рый

доказал, что

этот ряд

почти

наверное

 

сходится

при

условии

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tjlип I2 < 0 0 • Обратная теорема была дока-

 

 

 

I

и Колмогоровым

[1]. Другой

метод до­

зана Хинчиным

казательства

был

предложен

Пэли

и

Зигмундом [1];

он

использовался

также

для

лакунарных

тригономет­

рических

рядов

(см. Зигмунд

[2], стр. 325).

Случай

гильбертова

пространства

был

рассмотрен

 

Нордлен-

дером [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство

Колмогорова

 

(Лоэв

[1],

стр. 249)

является

классическим, по крайней

мере

в

скалярном

случае.

Для

доказательства

теоремы

2 молено вместо

неравенства

Колмогорова

 

использовать

неравенство

П. Леви

(см. стр. 27).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Пэли и Зигмунда

состоит в изучении

/Лнормы

00

ряда 21 ± "п> где знаки ± соответствуют некоторому

событию Е. Если вероятность Р(Е) достаточно велика,

то эта /Лнорма эквивалентна норме (2l "п 12)'/2 (Качмаж и Штейнгауз [1], стр. 153, Зигмунд [2], стр. 340], и поэтому имеет место неравенство, подобное (2) (с дру­ гими числовыми постоянными).

Глава IV

 

Эта глава написана с целью дать наиболее элемен­

тарное

доказательство того,

что

ряд 2 ± anZn п. н.

нельзя

продолжить

аналитически

через

окружность

круга

сходимости.

Переход

от теоремы 1 к теореме 2

тот

же, что и в гл. I I . Используя

теорему

1 и упр. 12

гл.

I I , можно свести

аналитическое

продолжение к сум­

мируемости, а суммируемость к сходимости; в этом состоит метод Рыль-Нарджевского [1].

Блэкуэлл высказал свое предположение Штейнгаузу

в устной форме

в 1947 г. (см. Рыль-Нарджевский

[1]).

В § 6 дается

ответ на один

вопрос Зигмунда

(уст­

ное сообщение,

1966 г.); здесь

же используется

метод

Рыль-Нарджевского. Тот же метод используется

и для

 

 

 

 

ЗАМЕЧАНИЯ

 

 

 

 

283

доказательства

общей

теоремы

Картана — Туллена

(упр. 11). Классические

результаты о рядах

Дирихле

можно

найти

в книге

Титчмарша [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава V

 

 

 

 

 

Основные

источники — статьи

Пэли

и Зигмунда [1]

и Вилларда [4].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пэли и Зигмунд [1] рассматривали

только

ряды

Радемахера

и Штейнгауза.

Многое из

их

результатов

изложены в книге Зигмунда

[2] (стр. 341—355).

 

Теоремы

2 и 3 принадлежат

Билларду

[1], [2], [3]

и [4].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение

1 должно

считаться

классическим,

однако

по этому

поводу я могу лишь сослаться на курс

лекций

Кацнельсона

в

Стэнфордском

 

университете

(1964-1965 гг.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение

8 является

частным случаем

теоремы

Сидона

о лакунарных

тригонометрических

рядах

(см.

Зигмунд [2], стр. 393). Упражнение 9 содержится в книге

Зигмунда

[2] (стр. 338). Упражнение 13 принадлежит

Кацнельсону;

вопрос

был

поставлен А.

Зигмундом

в устной

форме (1966 г.).

 

 

 

 

 

Глава VI

 

Салем

и

Зигмунд

[1] рассматривали

ряды Раде­

махера и

Штейнгауза.

Им

принадлежат

интересные

результаты в случае расходимости (центральная пре­ дельная теорема и др.), которые здесь не обсуждаются. Их метод применим непосредственно к субгауссовским

рядам

(точнее, он привел к мысли

ввести субгаус-

совские

величины и

субгауссовские

ряды

(см.

Ка-

хан [5]).

 

 

 

 

 

 

 

По поводу теоремы Литтлвуда

и Салема см. статью

Салема

[1], стр. 21.

 

 

 

 

 

 

Теоремы

5 и 6 содержатся в статьях Кахана

(пер­

в а я — в

[1], стр. 312,

вторая — в

[8]). Аналогичное

ис­

пользование

методов

случайного

анализа

см.

также

в статье Эрдёша [1]. Намного более трудные рассу­ ждения Кацнельсона и Малявэна, которые дали доста-

Смотрите также файлы