Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ ОБРАЗЫ СОВЕРШЕННЫХ МНОЖЕСТВ

275

Так как F(t, е) является

объединением

4q

интер­

валов длины е, то неравенство

а)

очевидно.

Докажем

неравенство (3). Если задано

5

(J Jt,

то

перенумеруем

точки

tk

так,

что

Предположение

sqk\JJi

означает,

что

расстояние от

s

до

/;

больше

чем

| / ;

|/2

при

всех /. Поэтому, если бы

мы

имели

| s — tj

| < /е

для

некоторого

/, то ни одна

из

точек

tu

t2,

tj

не

могла

бы

принадлежать

ника­

кому

интервалу

U длины

Но

в

то

же

самое

время все точки tu

t2,

а

tj

должны

принадлежать

сегменту [s — /е,

s

- j - ye],

этого не

может быть

по

са­

мому

построению

интервала

Следовательно,

|s

— U 1 > е ,

|s — * 2

| > 2 е ,

\s

—

tp\^qe,

откуда вытекает неравенство р).

Определим

теперь

G

как

множество

точек

(t,

s),

таких,

что

s,eF(/ ,

е)

( / = 1 ,

2

q).

Согласно

неравенству

а),

мера

О

меньше

(4qh(e))g.

Теперь

предположим,

что (t, s)<£G,

т.

е.

S/&F(t,

е)

для некоторого /'. Полагая

Y (О =

S W '

=

-N

где KN является Д/-м ядром

Фейера,

имеем

Y ( s / ) - Y ( ' i ) - Y ( * 2 ) -

•••

~y{tq)>

fe=i

С

другой

стороны,

используя

неравенство

Шварца,

имеем

\(Si)+

. . .

+

Y K

) -

Y

W

-

••• -

Y

(

M

<

276

ГЛАВА XV

7. Обобщение

теорем

1 и 2

Мы

ограничимся

случаем,

когда

а„ = /г-"2 -Р(р >

0),

a F(t)

определяется

рядом

(7)

или

(9).

Т е о р е м а

4.

Если Р ^

1, а Е — компактное

подмно­

жество

окружности

хаусдорфовой размерности

а <

рр,

то F{E)

п. н.

является

множеством

Салема

размер­

ности

а/р.

Доказательство следует из леммы 3, теоремы

3 и

теоремы 1 гл.

X I I I

(см. стр.

230).

Т е о р е м а

5.

Если

Е cz [0, я),

Р ^

1/2

и Е

удовле­

творяет

предположениям

теоремы

2,

то

F(E)

п.

н.

является

множеством

Рудина.

Y(t)=

£

^^(Xncosnt+Y'nsinnt),

п

нечетно

оо

Z{t)=

2

bn(X'n

cos nt + Y'n sin nt).

n=l

n нечетно

Тогда

случайная функция

Y(t)-\-Z(t)

подобна

F(t),

a Y(t)

— У(0) подобна W (t).

Для заданных гп

интер-

278

ГЛАВА XV

А (и) =

О (| и ГК12(\og\u\)ll2+lli)

( | и | - > оо).

(Положите

K — F(E),

где

F(t)

задано

рядом

(7)

при

а„ =

п - ,

/ 2 - р ,

и

используйте

тот

факт,

что

aF(6)

=

= 0 ( 6 P l / l o g

1/6)

п. н.)

2. Докажите,

что если задана произвольная поло­

жительная

выпуклая

функция

ф(г)

(г >

0), такая,

что

r - p / 2

( l o g г ) | / 2 + р

/ 4 =

о(ф(г)) ( г - э - оо),

то

найдутся

компакт­

ное

множество

К с= Rp

нулевой

меры

Лебега

и поло­

жительная

мера

у. ф

0,

сосредоточенная

на К

и такая,

ЧТО

|1(«)

=

0(ф ( | и | )

( | и | - » - о о ) .

(Доказательство то же, что и

для

упр.

1.)

3.

Докажите,

что

если

заданы

v

действительных

чисел

\ и

12,

£v и

натуральное

J V >

1,

то

для неко­

торого

целого

n ( l < I n ^ A / v )

справедливы

неравенства

I

sin я л | й К

sin ^

(k

=

1, 2, . . . ,

v).

(Это есть классическая теорема Дирихле. Для ее

доказательства

следует

рассмотреть

точки

((п^),

(nl2)

("£v))')

единичного

куба

в Rv

и

J V v

«ящиков»

/а, Х / а 2

Х - • - X A v где / а

обозначает сегмент

- ^ ^ - ]

(а =

0,

1,

. . . ,

N — 1).

По

крайней мере

две

точки

на­

ходятся

в

одном

и том же

ящике.)