Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
|
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ |
|
АЛГОРИТМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
Г Л А В А 9 |
СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ |
|
ДЛЯ РЕШЕНИЯ |
|
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ |
§ 9.1. Определение собственных чисел для решения электротехнических задач
Очень многие задачи электротехники могут быть сформулиро ваны с помощью собственных чисел (например, задачи устойчивос ти сложных энергетических систем, ускорение сходимости рас четов потокораспределення, рациональный выбор балансирующего узла в расчетах потокораспределення, расчет однородных полых волноводов с границами произвольной формы и т. п.). Одним из ак туальных вопросов, связанных с определением собственных чи сел, является критерий устойчивости по первому приближению.
Переходный процесс в электрической системе описывается си стемой обыкновенных дифференциальных уравнений:
|
|
dyi/tU |
= Oi |
(t, |
ylt |
у2, |
|
уп) |
(t = |
l , |
2, |
|
n) |
(9.1) |
|||||
с начальными условиями yt(t0) |
= |
yiQ. |
|
|
называется |
устой |
|||||||||||||
|
Решение |
cp;(0 (i = 1, 2, ... |
, n) системы (9.1) |
||||||||||||||||
чивым |
no |
Ляпунову, |
если |
для |
любого |
е > |
0 можно |
найти |
такое |
||||||||||
6(e) > |
0, что для всякого решения у t(t) |
той же системы, |
|
начальные |
|||||||||||||||
значения |
которого |
удовлетворяют |
неравенствам \yt(t0) |
|
•—Фг(^0)|-< |
||||||||||||||
< |
о (е) для |
всех |
t ^> t0, |
справедливы |
неравенства |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| У * ( 0 - ? | ( 0 1 < е . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если при сколь угодно малом о > |
0 хотя бы для одного реше |
|||||||||||||||||
ния £/;(0> |
удовлетворяющего |
неравенствам |
|
|
\yi(t0)—Фг(^0)Ь<°. |
||||||||||||||
неравенство |
\yi(t) —ф;(0| < s |
не выполняется, |
то |
решение |
фг(г") |
||||||||||||||
называется |
неустойчивым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если решение tfi(t) не только устойчиво, |
но, кроме того, |
удов |
||||||||||||||||
летворяет |
|
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
| yt |
(t) — |
<р, (t) |
I = |
0, если |
| yt (/„) - |
q>, (t0) | |
< |
8, |
|
|
||||||
где В; > |
0, |
то решение ф; (^) называется асимптотически |
устойчи |
||||||||||||||||
вым. |
Исследование |
на |
устойчивость |
некоторого |
решения |
уг |
= |
||||||||||||
= |
q>i(t) может быть сведено к исследованию |
на |
устойчивость |
три |
|||||||||||||||
виального решения, |
т. е. решения, тождественно |
равного |
нулю. |
||||||||||||||||
Для этого достаточно преобразовать систему (9.1) к новым пере
менным, полагая xt |
= yt |
—Ф;(0- |
|
|
|
Новыми |
неизвестными |
функциями xt(t) |
являются |
отклонения |
|
Hi — фг(0 |
прежних |
неизвестных функций |
от функций |
ф;(/)> опре- |
|
149
деляющих исследуемое на устойчивость решение. В новых перемен ных система имеет вид:
|
|
dxjdt = -cUft/dt |
+ Ф, [t, xi |
+ cPl (t),... |
, xn + cp„(0). |
||||
|
В силу зависимости xt = |
yt— |
Ф;(0 исследуемому |
на устой |
|||||
чивость |
решению |
yt |
= |
Ф*(0 |
соответствует тривиальное |
решение |
|||
Xi |
= 0. |
При исследовании на |
устойчивость тривиального решения |
||||||
Xi |
= 0 системы дифференциальных |
уравнений |
типа |
|
|||||
|
|
dxtldt |
= |
ft |
(t, xlt |
... , x„) ( i = l , 2 |
л), |
(9.2) |
|
где / г —дифференцируемые в окрестности начала координат функ ции, часто применяется следующий метод: пользуясь дифференцируемостью функции fit представляют систему (9.2) в окрестности начала координат в виде
|
|
dxjdt |
= |
2 |
atJ(t) |
X; + Rt (t, хъ |
хг, ..., x„), |
|
|
(9.3) |
||
где |
Rt |
имеют |
порядок |
выше |
первого |
относительно |
у |
2 |
х 2 |
|||
и исследуют на |
устойчивость тривиальное решение системы |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dxt/dt= |
2 |
а( > (0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
, Последняя система является системой уравнений первого |
при |
|||||||||||
ближения для системы (9.2). |
|
|
|
|
|
|||||||
Исследование на устойчивость системы уравнений первого |
||||||||||||
приближения — задача |
более легкая, чем исследование исходной |
|||||||||||
нелинейной системы |
(9.2) |
(исследование |
линейной системы |
пер |
||||||||
вого |
приближения |
при |
переменных коэффициентах atj(t) |
практи |
||||||||
чески |
сложная |
задача). |
В |
том |
случае, когда все ai;- |
постоянны, |
||||||
т. е. система стационарна в первом приближении, вопрос об устой
чивости системы (9.2) решается на |
основе |
следующей |
теоремы. |
|||||
Если система уравнений (9.3) стационарна в первом прибли |
||||||||
жении, |
все члены |
Rt в |
достаточно малой |
окрестности |
начала |
|||
координат |
при t > |
Т >• t0 |
удовлетворяют неравенствам |
|
||||
|
|
|
|
|
/ я |
\ 1 / 2 + « |
|
|
|
|
|
1 я « 1 < л ч 5 Х ) |
. |
|
|||
где N |
на |
постоянные, причем а > |
0 и все корни характеристиче |
|||||
ского |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-к |
а12 |
• • • |
аи, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
а„„—к
150
имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение системы уравнений (9.3) будет асимптотически устой чиво. В этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению. Если хотя бы один из. корней характерис тического уравнения имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение неустойчиво.
Существует большой класс задач (не только электротехниче ских), для которых критерий устойчивости по первому приближе нию, основанный на рассмотрении характеристического уравне ния, дает ответ на вопросы об устойчивости.
Фактическое нахождение характеристических чисел представ ляет особую проблему, и до сих пор не существует достаточно об щих эффективных методов решения этой проблемы.
Наиболее распространенным методом определения собствен ных значений и собственных векторов симметричной матрицы яв ляется итеративный метод Якоби. Только наличие ЭЦВМ позволя ет эффективно использовать его.
|
§ |
9.2. |
Собственные |
значения |
|
||
|
и |
собственные |
векторы |
|
|
||
|
симметричной |
матрицы |
|
|
|||
Пусть |
А — симметричная |
матрица п-го порядка, |
собственные |
||||
числа и |
собственные |
векторы которой |
требуется |
определить: |
|||
|
|
|
|
«12 |
|
|
|
|
|
|
«21 |
«22 |
|
«2„ |
|
|
|
|
|
««2 |
|
а.... |
|
Если ортогональная |
матрица С такова, что |
|
|||||
|
|
|
С* АС = |
В, |
|
(9.4) |
|
где С* — матрица, транспонированная по отношению к С, а В —• диагональная матрица
Хх О О
В =
ОО Х„
то числа Xi, ... , Xn и есть собственные числа матрицы А; столбцы
матрицы |
С являются |
собственными |
векторами |
матрицы А. Соб |
|||||||
ственные числа матрицы А есть нули |
характеристического |
урав |
|||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| А — Х Е | |
= |
0, |
|
|
|
(9.5) |
||
где Е —единичная |
матрица, |
элементы |
которой |
eih |
= oik |
(bik |
— |
||||
символ |
Кронекера; |
bik |
= 0, |
если |
i Ф k; |
о £ й = |
1, |
если |
/ = |
/г); |
|
|А —ХЕ| —определитель матрицы А —ХЕ. |
В диагональной мат- |
||||||||||
151
рице |
числа, стоящие по диагонали, и есть собственные числа |
этой |
матрицы. |
Действительно,
О |
О |
В — X Е | = * |
(Xt _ Х)(Х 2 _ Х) ...(Ху—X). (9.6) |
ОО х „ - х
Следовательно, характеристическое уравнение
|
(Х 1 - Х) ... (Х / | _ Х) = 0 |
(9.7) |
|
имеет своими |
корнями Xi, Х2, |
... , Х„.' |
|
Покажем, |
что числа Xi |
, ~кп являются собственными |
числами |
исходной матрицы А. Для этого достаточно убедиться в том,что характеристические уравнения матриц А и В = С- 1 АС совпадают, какова бы ни была невырожденная матрица С (невырожденная — это матрица, имеющая определитель, отличный от нуля).
Действительно,
|В — X Е | = | С"1 АС — Х Е | .
Так как Е коммутирует с любой матрицей, а С_ 1 С = Е, послед нее равенство можно записать в следующем виде:
| В — X Е | = | С- 1 АС — С- 1 X ЕС |.
Вынося в этом выражении за скобки С- 1 и С, получим | В — X Е j = | С-1 (А — X Е) С |.
Так как определитель произведения матриц равен произведе нию определителей перемножаемых матриц, то:
| В — Х Е | = |С"Ч | А — X Е | | С | . Поскольку |С- 1 | = 1/ С|. окончательно получим
| В — Х Е | = | А — Х Е | ,
что и требовалось доказать. Пусть
" с 11 |
' ' * |
c l i |
с1п |
°и1 |
' " |
°ni |
°лл |
является ортогональной матрицей, т. е. выполняются соотношения
п |
|
£ c,,c,ft = 8(A ( s = 1, 2 |
л). |
s=l |
|
152