Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Таким

образом,

если

6 =

— 2а,

то уравнение

(2)

имеет единст­

венное решение

х =

— За

(рис.

32).

Если

х2 =

а,

т. е.

6—а =

а,

то Ь — 2а. Но в этом случае хх = 3а.

Поэтому

если

6 =

2а,

то

уравнение

(2) имеет единственное решение

л: = За (рис. 32).

Итак:

а — любое

1)

если

6 =

0,

вещественное число,

то

уравнение (2)

решений

не имеет;

а — 0 ,

то

решениями уравнения (2) являются все

2)

если

6 Ф 0 ,

вещественные числа, не равные кулю;

3) если

6 = — 2а,

ЬфО,

то

х =

— За;

4)

если

6 =

2а,

6 Ф 0,

то

х = За;

х2 = 6 — а.

5)

если

а Ф 0,

6=^0, Ь ф ± 2 а ,

то хх — 6 + а,

Решение неравенств с параметрами

При решении неравенств,

содержащих параметры,

используются

в основном метод

интервалов и графический метод (см. § 3 гл. 3).

Пример 2.

Решить

относительно х неравенство

+

ах > 1.

(5)

Очевидно, относительно х неравенство (5) является неравенством

второй

степени,

относительно а — первой степени. Исходя из этого,

С п о с о б

1.

Преобразуем

неравенство (5)

к виду

ах2 — х +

1

( 6)

х

Найдем корни квадратного

уравнения

ах" — х +

1

= 0 :

(7)

Х г =

1 -I- V 1 — 4а

Х 2

1 — У 1 — 4а

--------------------р :---------------------- ,

= ---------------------рг---------------------- .

1

2а

2

2а

Теперь ясно,

что если а > 0,25,

то уравнение (7) не имеет дей­

ствительных

корней. В этом

случае

ах2— х + 1 > 0 при всех дей­

ствительных значениях х, и поэтому

неравенство (6) имеет решение

х > 0.

0,25

хг = х2 =

2

и неравенство

имеет решения

При а =

0

<

х <

2,

х > 2.

Q (Х '^l) (Х ^з)

Q

^

Если 0 <

а <

0,25, то

неравенство (8)

эквивалентно

неравенству

(х — x j jx — х8) у о

0|

> о, х' > 0.

х

Отсюда

х >

хь

0 < х <

х2.

Если а <

0,

то неравенство

(8)

эквивалентно

неравенству

< 0 . , 1<01

Отсюда

х < хг, 0 < х < х2.

При а = 0 неравенство (6) имеет вид

1

_

,

х

Отсюда 0 <

х < 1.

Окончательно

получим:

1)

если

а <

0,

то

х <

1 _1_ ] / 1 _ 4 а

или 0 <

х

1 — V 1 — 4а .

--------^ --------

2а

2)

если

а = 0,

то

0 <

х < 1;

3)

если

0 < а < 0,25,

то

х >

1 + ]/1

— 4а

или

1 — V 1 — 4а

^

2а

2а

>

> х >

0;

0,25,

то

0 <

х <

2

или х >

2;

4)

если а =

5)

если

а >

0,25, то х > 0.

(5) к

виду

С п о с о б

2.

Преобразуем неравенство

1

>

— ах.

(9)

------- 1

х

Обозначим

/ М =

4

“ —

!-

Ф(*) =

— fl*-

5 1

67

Построим

графики функций f(x) и ср (лг) (при а = 0; —1- —2-

—3; 0,2; 1)

(рис. 33).

---- 1 = — ах или 1 — х + ах2 = 0

(10)

D — 1 — 4а — 0, т.

е. а = а0=

0,25.

Отсюда ясно, что при а =

0,25

график функции ср (х)

касается

графика функции f(x).

функций f(x) и ср(х),

получаем:

если 0<!

«Прочитав»

графики

< а < 0,25, то

график

функции

/ (х) расположен выше

графика

функции <р(х) на (0,хх)

и (х2,

оо), где хх и

хг — корни уравне-

ляются точки,

принадлежащие

(0,

х4)

и (х,,

+ со).

Если

а = 0,

то 0 <

х <

1.

или х <

х4 (х3

и х4 — корни

уравне­

Если

а <

0,

то

0 <

х <

х3

ния (10). Причем ясно, что х4

<

0, 0 <

х3 < 1).

Если

а >

0,25,

то х > 0.

х <

х0

или

х > х0 (х„ — действительный

Если

а =

0,25,

то

0 <

корень уравнения (10); х0 =

2).

к

следующему виду:

С п о с о б

3.

Преобразуем неравенство (5)

1 — L

1

а >

X

если

х

0;

(П)

а <

х

х — 1

если

х <

0.

( 12)

Построим

график функции

а = а{х) =

х — 1

П т

а(х) = 0,

П т

а(х) = 0, П та(х ) = — со, а(1) =

0.

X

С£>

X-*-- с»

х-0

Находим экстремальные точки:

а ( х) —

х (2 — х)

- - г - - -

а' (2) = 0,

а (2) = 0,25.

Теперь ясно, что при х =

2 функ­

ция а (х) достигает наибольшего

значения.

свойств

функции

Установленных

а (х) достаточно для построения тако­

го ее графика (рис.

34), по которому

можно провести исследование реше­

Рис. 34

ний неравенства

(5).

«Прочитав» график функции а (х),

с учетом

условий (11) и (12)

получаем уже найденные решения, не­

равенства

(5).

Сравнивая все три решения неравенства (5), можно заметить, что

последнее решение

является

наиболее изящным, так как

исследо­

вание функции и построение

ее графика дает возможность наиболее

Л*

+

—

= 1 ,5 ;

2)

+ -

=

3*

У

^

г

I/

г

х

— + — + — = 3,

х

'

у

'

г

* + г/ + г = з.

2.

1

у — 2х~2 — .v2; 2) сколько по­

1) Построить графики функций у = 2 —

ложительных

решений имеет уравнение 2 - - л-1 =

2а-2 ■- .V2?

3.

Решить уравнение п2 -

л2 _ |

х

+ 2

2.V — х2

х — 2

'

4.

1) Построить график функции у =

лг -|- я-1 ; 2) при каком значении а урав­

нение х + х ~1 =

ах + 1

имеет одно положительное решение?

5.

1) Построить графики уравнений

5 — хg = у, а 2 + у2 = 25; 2) сколько дей­

ствительных

решений имеет система этих

уравнений? 3) существуют ли такие зна­

чения а, при которых система уравнений

у =

5 — х

За—2 ’

if- + а2 = а2

имеет решения ( а , у), удовлетворяющие

равенству а = у?

6.

На рис.

35

изображен график функции

ах -|- к

у ~~

Ьх 4- с

'

Записать ее аналитическое выражение.

уг — | х — 3 | -(- | а +

1 |, уг = | а + 3 | +

+

7. 1) Построить графики функций:

| х — 1 |, Уз — yi' . yi

2)

при

каких значениях а уравнение

у3 = а имеет толь­

ко

два

решения?

х2

| * |

12