Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

10.

Построить график функции у = - —д--|_ ^

11.

х _2

2 х _3

Построить графики функций yL = х _|_ g и

; и решить нера­

Рис.

35

=

13.

1) Построить графики функций

ух = х2— 2л:+ 3, уг = х2— 4х + 3,

уа =

(/, : у„\

2) сколько действительных корней имеет уравнение у3 =

— х?

14.

Р еш и ть

н ер ав ен ств о

(1 + * )(2 +

х)

Зх.

v.2 ' | x' j

9— > —

15.

Найти

все значения а,

при которых для

всех

| х | <

1 выполняется

не-

равенство

ах — а (1 — а)

^

„

аг _ а х _ _ х

> 0 .

16.

1) Построить графики функций

</х = (х +

1)—

Уг =

(х +

З)- 1 , у3 =

1 —

— x(x +

2)~i,

iji = i/x +

2) доказать,

что уравнение

(х +

I)-1 + (х + З)- 1 +

+

х (х +

2)~1 =

1 не имеет действительных решений.

17.

1) Построить графики уравнений

у — {х — 2) 1,

у = х ~ 1,

у — (х-\-2)~1;

2)

решить уравнения

х~ 1 +

(х +

2)~1 =

0

и х~1 +

(х +

а)-1 = 0;

3) решить не­

равенства

х—1 + (х +

2)~1 >

0,

х~ 1 + (х + а)-1 >

0.

18.

1) Построить график функции у =

ах — 5

■х

при некоторых значениях

параметра а; 2)

ах — 5

< 3 .

решить относительно х неравенство

ах2+ Зл- + 4

<5?

1< х2+

2л; + 2

22. Определить действительные

решения системы уравнений

4- У+

3.v,

х + г

Зу,

4-— тГ,

=

x‘z‘

Х

+ У

=

Or

23. Решить систему уравнений;

х + у

_ Т _

2)

2х

I J L + _£_) =

15,

1) xyz

'

12 1

У

У + г __ 5_

У

L. + JL ) = 20,

xyz

—

12

3

X

Z

2 ~Ь х

___ 1_

|

6г

— +

J L ) =

13.

xyz

3 '

)

у

х

2 Уа + х — У а — х = }/~а —х + У х (а + х).

(1)

Установим, при каких значениях х определены левая и

правая

части уравнения.

при х > - — а. Отсюда ясно,

что корень У х {а + х) определен,

если

х^> 0. Следовательно,

0 (так как х^.а).

Итак, правая часть уравнения определена,

если 0 < х < а (а

0).

Но при этом

условии

У а + х

У а — х,

а тем более

и

2 ] /а + х — Y а — х ^- 0 .

Таким образом, левая часть

уравнения определена и неотрица­

нения (1) в квадрат получаем эквивалентное ему уравнение

4 (а + х) — 4 У а" — х2 + (а — х) = а — х + ]/ х (а + х)

или

4 (а + х) — 4 ]/ а2 — х2 = Y х (а + х).

Разделив

обе части

последнего уравнения на ] /х -)- а 4 0,

имеем

4( ) / а +

х — Y a — х) — Y х -

(2)

Заметим,

что Y х +

а =

0 только в том случае, если х =

а = 0.

Следовательно, х =

а = 0 является корнем уравнения (1).

Возведя уравнение (2) в квадрат и приведя подобные члены,

получим

32 Y я2 — х2= 32а — х.

(3)

у ' 2 ^ х + У х ^ Т

> 1.

(4)

Левая часть неравенства определена,

если х — 1^-0,

т. е. если

При этом условии после выполнения некоторых

преобразований

получаем неравенство, эквивалентное неравенству (4):

v^2 — х >

1 — У х — 1,

( y ^ 2 ^ x ) 3 >

(1 — У~х—1)3,

У х — 1 (3 + х — 1) > 4х — 4,

1 /х ^ Т (2 +

х) > 4 ( х — 1).

(5)

Так как л: > 1,

т.

е. х — 1 > 0 , то,

разделив неравенство (5) на

] / х — 1, получаем

эквивалентное

ему неравенство

2 +

л' >

4 У’Т=Л.

(6)

Так как х > 1, то после возведения обеих частей неравенства (6)

в квадрат получаем эквивалентное неравенство

или

(2 +

х)2 >

16 ( х— 1)

х2 — 12х + 2 0 > 0, 1

х >

1.

)

Квадратный трехчлен

х2 — 12х+ 20 имеет корни х1 = 2, х2 =

10.

Поэтому х2 — 12х + 20 >

0,

если

х < 2

или х > 10.

Окончательно 1 <

х <

2,

х > 10.

Метод вспомогательной неизвестной

Пример 3. Решить уравнение

V 629 — х +

у 77 +

х = 8.

(7)

Очевидно, — 77

х

629. Обозначим: 629 — х = лг4, 77 -f- х =

/г4.

Сложив почленно последние два

уравнения, имеем

/л4 -f л4 — 706.

Теперь уравнение (7)

свелось к решению системы уравнений

т + л = 8,

1

т* + /г4 = 706.

)

^

Решаем систему уравнений (8) следующим образом:

(т + л)2 = 64,

т 2 + г = 64 — 2/лл,

( т 2 + л2)3 =

(64 — 2/лл)2,

лг4 + л4 =

(64 — 2/лл)2 — 2лг2л2.

Но т4 + п* = 706.

Поэтому

(64 — 2/лл)2 — 2лг2л2 — 706.

(9)

( 10)

и

(П)

Система уравнений (10)

имеет решения /«! =

3, пг =

5; т 2 = 5,

п„ = 3. Система уравнений

(11) действительных

решений

не имеет.

Итак,

629 — х — З4 или

629 — х = 54, отсюда хг = 548, х2 = 4.

Пример.

4. Решить относительно х

уравнение

\ f а — У а + х = х (а > 0).

( 12)

Обозначим |/ а +

х = у. Получим систему уравнений относитель­

но х и у:

(13)

Очевидно,

а — г /> 0, т. е.

у < а , и я + л :> 0,

т. е. х > — а. Но

так как

х

0 и у ^ - 0, то

(14)

При условии (14) система уравнений (3) эквивалентна такой

системе:

(15)

Вычитаем из

второго уравнения системы (15) первое.

Получаем

или

х + у = У2 — X2

X + У=

(У — X) (у + х).

(16)

Так как х > 0

и г /> 0, то

х + г/=

0 только

в том случае, если

одновременно

х = у = 0. Если у — 0,

то а + х = 0,

т. е. х = — а.

Но У а = — а только тогда,

если а = 0.

(12).

Итак,

х =

а =

0

является

корнем уравнения

уравнению 1 =

Если

х +

у >

0,

то уравнение (16)

эквивалентно

= у — х.

Отсюда

1 = У а + х — х, 1 + х = У а + х,

(1 +

х)2 = а + х.

(17)