Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Корни уравнения

(17) xli2 = 0,5(— l± ;] /4 a — 3).

Исследуем, при каких значениях а эти корни удовлетворяют

уравнению (12). Для

этого решим уравнение

(17)

относительно а:

а =

х2 -f- х 1.

Исследуем на

экстремум

функцию а (х) =

х2 +

х + 1 ■ а' (х) =

= 2х -1- 1: а' (х) =

О,

если х =

— 0,5; а(— 0,5) = 0,75.

Рис.

37

График функции а(х) показан на рис. 36.

что x'ii2> 0 ,

если

Известно,

что xli2> 0 .

Из графика видно,

а > 1. Поэтому только

х = 0,5 (— 1 + У 4а — 3)

является корнем

уравнения (12).

_____

Окончательный ответ

хг = а = 0; х2 = 0,5 (— 1 +

У 4а — 3),

если

а > 1 .

Умножение обеих частей

уравнения (неравенства) на выражение,

сопряженное с одной из его частей

Этот метод применяется для того, чтобы упростить исследование

функций, определяемых данными уравнениями.

Пример 5.

Решить неравенство

У~х — V х — 1 > а (а > 0).

Левая часть этого неравенства определена, если

х — 1 ^ 0 ,

т. е.

а <

1

(18)

У~х + У х — 1

Функции ах(х) — У х и а2(х) =

У х — 1

положительные, моно­

тонно возрастающие, поэтому и а3(х) = У х + ]/х — 1

положитель­

ная,

монотонно

возрастающая функция. а3(1 )= 1. Поэтому а3(х) на

[1,

+ оо)

изменяется

от 1

до

+ оо.

Теперь ясно, что функция

а = —-=-----1. ■-

-

У х +

|/х — 1

монотонная. Она определена на [1, +

°°). Область ее изменения [1,0).

Строим график функции а(х) (рис. 37).

является [1,

Из

графика

видно,

что

решением неравенства (18)

х0),

если 0 < а

< 1 ,

где х„ — корень

уравнения

У х — У х — 1 = а.

Решим

это уравнение:

У х — а = У 1 с ^ Т ,г( У х — а)2= ( ] /х ^ Т ) 2,

х — 2а У~х + й2 = х — 1, a2-f 1 = 2а У х,

(a2 -f

I)2 =

4а2х,

х„

1 + а 2

2а

Найдем 1 <

х <

1 + а2

2

а <

1.

2а

, 0 <

Графический метод

Сущность этого метода и его достоинства раскрываются в про­

цессе решения примеров.

Пример 6.

Решить

неравенство

У 1 — х > х.

Обозначим Ух — х,

у 2. = У 1 — х.

Построим графики функций у г

и уг (рис. 38). Пусть

х0 — абсцисса точки пересечения

графиков ух

и у 2.

Теперь

ясно,

что решениями

данного

неравенства являются

х <

х0

и

0 <

х0 <

1.

После этого

остается

только вычислить зна­

чение х0.

Решив уравнение У 1

= х, получаем два корня х0 и хх.

Рис. 38

Рис. 30

при различных значениях параметра

а.

Тогда легко заметить,

что

графики ух и у2 пересекаются,

т.

е.

данное уравнение

имеет дей­

ствительное решение х0, если

а ^

1.

х0 только одно

и оно

рав­

Очевидно также, что такое решение

но 1, если а — 1, и 1 < х0< У а,

если

а > 1.

Наконец, становится ясным, что решением данного неравенства

являются

л'0 ч < х с ] / а.

Решив

уравне ние

Рис. 40

Рис. 41

Рис. 42

Пример 8. Доказать,

что уравнение

]' х + 6 — Y х — 7 = 5

не имеет решений.

____

____

Умножим обе

части

этого уравнения на

\/х + 6 +

] /х — 7:

Пример 9. Решить уравнение

25л:3 — И * — 6 р

— 8 = 0.

(19)

Левая

часть уравнения определена на множестве

неотрицатель­

ных чисел. Преобразуем уравнение (19) к виду

25л:3 — 8 =

11л:

6 У~х.

(20)

Обозначим f (х) = 25л:3 — 8, ср (х) =

1 lx -f 6 Ух.

Очевидно, функции f (л:) и ср (л:) на [0, + со) возрастающие, / (л:) —

вогнутая,

ср (х) — выпуклая, так

как

сра (х) = 6 ] / х — выпуклая и

Поясним сказанное еще одним примером.

Пример 10.

Решить неравенство

— 1 + У 1 — 4х2

Обозначим: / (х) = У 1 — 4х2 — 1; ср (х) = — х; F (х) =

/ (х): ср (х).

и

Функция f (х) определена

на [— 0,5;

0,5],

ср(х) — на

(— оо,

0)

(0,

+ оо).

Поэтому функция

F (х)

определена

на [— 0,

5;

0)

и (0;

0,5].

Строим графики функций f(x) и ср(х) (рис. 42).

является

реше­

Из графика

видно, что полуинтервал

[— 0,5; 0)

нием

исходного

неравенства,

так

как

здесь

F ( x ) <

0 < 3,

и полу­

интервал (0,

х0],

где х0 — абсцисса

точки

пересечения

графиков

f

(х) и ср (х), также является

решением,

потому что здесь

| f

(х) |

<| ф ( х ) | , т. е. F ( x ) < 1 < 3.

Для определения х0 решаем уравнение

— 1 + У 1 — 4х2 = — х.

Получаем х0 =

0,4.

Теперь ясно,

что ср(х) на

[0,4; 0,5] изменяется

от — 0,4

до

—

— 0,5, а /(х) — от — 0,4 до

— 1. Поэтому на [0,4; 0,5]

^(х) < (— 1): (— 0,4) =

2,5 < 3.

Окончательно

— 0, 5 <1 х <0 ,

0 < х <1 0,5.