Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

трудно. Поэтому поступим следующим образом.

Решим сначала данную задачу графически

(методом проб). Для

этого

строим

прямой

/_ВАС0

(рис.

77).

На

его

сторонах

строим

точки

В и Я : |Аб| =

|ЛЯ|

= 1.

Через

В проводим несколько лучей,

пересекающих луч [ЛС0)

в точках

Си С2, . ..

Очевидно,

с удале­

нием точки Сп (п = 1,

2,

3, ...) от А |Л4„С„|

монотонно увеличива­

ется.

Поэтому на луче [ЛС0) существует

такая

единственная точ­

ка С,

что \МС\ = у 3.

Методом проб находим

приближенное поло­

жение такой

точки

С.

Измерением

находим,

что 0,61 < х < 0,62,

т. е.

|ЛМ4| =

0,615.

Строим графики функций:

1) f(x) = xi — 2х3 и cp(x) =

x2 — 6х + 3

на (— со,

0];

2) fi (х) = х1+ 6х и

(х) = 2х3 + х2 + 3 на (0, + со).

После этого становится ясным,

что на (0, + со) уравнение

имеет

только один корень хг (мы его уже нашли: хг

0,615). На

(—со,

0] уравнение (2') имеет также

один корень х2\

— 2 <

х2 < — 1.

Уточнив значение корня методом проб,

получаем

jt2^

— 1,615.

Вычисляем

хг +

х2 ^ — 1,

Х1-Х2^:. — 0,993.

Теперь можно

высказать

гипотезу:

хг +

=

— 1,

(3)

Xi ■х2=

— 1.

(4)

Решив систему

уравнений

(3)

и (4), находим

- 0 , 5

( У ъ — 1)^0,615 .

Нетрудно проверить, что число

0,5 ()/ 5 — 1)

является

точным

значением корня уравнения (2).

Итак, \MN\ = 0,5 ( ] / 5 — 1).

Задача 10. На основании

АС равнобедренного треугольника АВС

расположена точка D так, что

\AD\ = a,

\CD\ =

b (а > 6).

Окруж­

ности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются прямой (BD)

в точках М и К соответственно.

Определить длину

отрезка

[Л4/С].

л

л

л

2ф, \РВ] — высота

этого

Обозначим: ВАС = ВСА = 2а,

ADB =

треугольника (рис.

78).

Центры Я

и Е вписанных окружностей ле­

|.4Р| =

0,5 (а + b);

\PD\ = \ A D \ - \АР\ = 0,5 (а -

6); \РВ\ = |4 P |tg 2 a=

= 0,5(a +

b) tg2a; tg2cp = \PB\: \PD\ =

*g2a-

По

теореме синусов из треугольника

AHD находим

-

т

\н р \

sin (180" — a — ф)

sin a

\M0D\ = |HD\ cos cp = a

sin a cos ф

sin (a -f- ф)

Итак, нам нужно доказать, что

\МК\ = а

sin a cos ф

sin asm ф

а — b

(5)

sin (а + ф)

cos (а — ф)

2

’

если

tg2<P =

д —

tg 2а

(6)

(а >

Ь , 0 < 2ф <

90°,

0 < 2а <90°).

Из равенства (6)

находим

Ь = а ~-■—о / I г-

sin 2

(ф +

а)

Подставив

полученное значение

b в

равенство

(5)

и разделив

обе части на а, получаем

sin a cos ф

зш 2 (ф — a) sin a sin ф

_

1

sin 2 (ф — a)

зт (а -)-ф )

sin 2 (ф + a) cos (a — ф)

~

2

2 sin 2 (ф + a)

Таким образом, мы докажем, что |УИ/С| = 0,5(а — Ь),

если

пока­

жем, что равенство

(7)

справедливо для всех а

и ф, удовлетворя­

ющих условиям:

0 <

2ф < 90°, 0 < 2а'<

90’.

(8)

После очевидных

преобразований равенство (7)

принимает

вид

sin а

соБф

sin (ф — а ) э т ф

=

_______ '------------------------—------- -------

\-------

з!п(а-|-ф )

sin (ф +

a) cos (ф +

а)

_

sin 2 (ф +

а) — sin 2 (ф — а)

или, после умножения левой и правой части

равенства на sin (ф -f

+ “) Ф 0:

sin (ф — a) sin ф

sin 2 (ф +

a) — sin 2 (ф

sin a cos ф —

cos (ф + a)

4 cos (ф + a)

Поэтому равенство (9) можно преобразовать к

виду

^

cos ср cos (cp + а) — sin (cp — a) sin cp

cos2cpsin2cp

cos (cp + a)

2 cos](cp +

a)

или

sin a [cos cp cos (cp 4- a) — sin (cp — a) sin cp] =

,cos Pep sin 2cp

/j

(в силу

условия

(8) cos(cp + a ) = ^ 0).

Разделив обе

части равенства (10) на sinra=^0, имеем

cos cp cos (cp + a) — sin (cp — a) sin cp = cos 2ф cos a.

(11)

Упражнения

1. Квадрат

ABCD задан координатами своих

вершин А,

В и

D: А (0, 0);

В (8 , 0); D (0,

8 ). Из точек С и Л по сторонам квадрата в одно и

то же вре­

мя, против хода часовой стрелки, с постоянной

скоростью

начали движение

движения точки К ■ Точка Е — середина

отрезка [Л4К].

1)

Построить путь движения точки Е;

2)

составить уравнение множества

середин Е всех отрезков [Л4Л,'];

3)

доказать, что множество У^ имеет ось симметрии.

2 .

Дан £_ВАС. Точка М расположена

внутри этого угла. Точка К £

\АС).

Точка D = [КМ) Q [АВ). Точка К движется

по лучу

[АС) (от точки А).

1)

Как изменяется площадь Д AKD при движении точки К по лучу [АС)?

2)

указать то положение точки К на луче \АС),

при котором

Д AKD

имеет

наименьшую

площадь.

А(0, — 3) и 5(0,5)

и параллельны

3.

Прямые а и & проходят через точки

оси абсцисс.

Угол РОЕ делится осью абсцисс на два

конгруэнтпых]угла, каждый

из которых

равен a (0 < а < 45")- Точка Л4 = [ОР) П b, К = [ОЕ) П а.