Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Г лав а 6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

§ 1. Ме т од ы г е о м е т р и ч е с к и х п р е о б р а з о в а н и й

Метод параллельного переноса

Метод параллельного переноса заключается в том, что пере­ носят на некоторый вектор какой-нибудь отрезок или другую часть исследуемой фигуры и сводят анализ (построение) данной фигуры к анализу (построению) вспомогательной, более простой фигуры, затем выполняют обратный перенос и переходят к анализу (построе­ нию) фигуры, указанной в задаче.

Задача 1. Построить четырехугольник ABCD, зная его стороны и отрезок [РК], соединяющий середины сторон [AD] и [ВС].

Допустим, что нужный нам четырехугольник построен (рис. 80).

и параллельны [АП]. Поэтому четырехугольник СХСВХВ является параллелограммом. Точка К — середина его диагонали [СВ]. Поэтому К принадлежит диагонали [CjBJ и является ее серединой.

Таким образом, у треугольника РСХВХ известны стороны РСХ, РВХ и заключенная между ними медиана РК. Как построить такой треугольник? Для этого построим точку Ри симметричную Р

две равные части. Строим точку Ви симметричную Сх относительно К. Строим по трем известным сторонам треугольники СХКС и КВВХ.

Переносим отрезок [СХС] на вектор СХР в положение [PD]). Пере­

154

носим отрезок [BBJ на вектор ВгР (в положение [АР]). Все четыре вершины искомого четырехугольника ABCD построены.

Обоснование выполненного построения предоставляем читателю. Задача 2. Даны две окружности О (R) и Ог (Rx) и прямая р, причем R > Rx. Параллельно прямой р провести прямую, образую­ щую в данных окружностях хорды АВ и CD, сумма которых равна

данному отрезку т.

Допустим, что (AD) || р и | АВ [ + | CD \ = т (рис. 81). Перенесем

окружность (tf:) на вектор СВ (в положение 0\). Тогда хорда CD займет положение BDX и | ADX\ — т.

С

ными окружностями получаем искомые хорды АВ и CD. Исследуем, сколько решений может иметь задача. Во-первых,

можно построить единственный прямоугольник ОКОъ катет ОгК которого параллелен прямой р. Поэтому существуют и единствен­

ные точка 0\ и окружность О\ (Ri). Отсюда ясно, что если окруж­

ности О (R) и 0\ (Rx) не пересекаются, то задача решений не имеет. Если они касаются (в точке В), то решение одно. Если

155

Метод осевой симметрии

Метод осевой симметрии заключается в следующем. Задача пред­ полагается решенной, и одна точка (прямая) из данных в условии задачи заменяется точкой (прямой), симметричной относительно некоторой прямой. После этого симметричная точка (прямая) под­ чиняется тем условиям, которым должна удовлетворять замененная точка (прямая). В результате получаем новую задачу, которая решается каким-нибудь из известных уже способов.

Рис. 82

Задача 3. Дан остроугольный треугольник АВС. Построить такую точку X, чтобы четырехугольник АВСХ был: 1) вписываемый

и2) описываемый.

1)Описываем окружность со вокруг треугольника АВС (рис. 82). Из условия задачи ясно, что точка X принадлежит той дуге окруж­ ности со, которой не принадлежит точка В. Выясним, сколько решений может иметь задача. Путь для определенности | ВА | > | ВС |.

Каждая _сторона треугольника меньше суммы остальных двух сторон. Поэтому на дуге АтС существует единственная точка X,

156

жащий сегменту АтС. Искомая точка X определяется пересечением прямой {АР) с дугой АтС.

Задача 4. Угол FMD — острый. Точки А и В принадлежат его стороне [MF). На луче [MD) построить такую точку X, чтобы раз-

157

можно построить дугу окружности, которая стягивается хордой АгВ

и в результате получают искомую фигуру. Центр вращения и угол

на угол 90° (против хода часовой стрелки). Если повернуть вокруг центра А всю фигуру на прямой угол, то вершина D при этом окажется в положении точки В, а прямая с перейдет "в прямую с', перпендикулярную прямой а и проходящую через вершину В искомого квадрата. При этом вращении треугольник ADM перейдет в конгруэнтный ему Д AM'В (сторона [ЛУИ] перпендикулярна прямой с и сторона [AM’] перпендикулярна прямой с'). Таким обра­ зом, вершина В искомого квадрата ABQD ярляется пересечением

158