Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

прямых а и с'. Вершина

А

при

построении

может

быть

выбрана

произвольно на прямой Ъ.

Ь отмечаем

произвольную

точку

А.

Построение.

На

прямой

Из нее опускаем перпендикуляр

[AM] на прямую с.

Вращаем

пря­

мую с вокруг точки А

до

совмещения с прямой с’,

т.

е. строим

на прямой b отрезок [AM'],

конгруэнтный

[AM],

и

через

точку М

проводим прямую

с’ !_ Ь.

Получаем

В — с' [\а.

На

полученном

отрезке [АВ] строим квадрат ABCD.

решения

предоставляем

Обоснование

построения

и исследование

читателю.

Метод гомотетии

и подобия

Метод гомотетии

и подобия

заключается в следующем. Данная

задача сводится

к

задаче

на

построение

фигуры,

гомотетичной

(подобия)

так, чтобы

после

преобразования

уже

выполнялось

и ранее отброшенное условие.

В результате

получается искомая

фигура.

6. Даны острый /_ ВАС и внутри

него

точка М. По­

Задача

строить на стороне [АС) угла

точку X, равноотстоящую от стороны

[АВ) и от точки М (рис.

85).

На стороне [АС)

<ВАС дана точка Х г. Построить

на луче [AM)

точку М± такую, чтобы

расстояние

| Х 1Н1 \ от Хх до луча

[АВ)

было равно \ХхМх\.

{АВ)

и

окружность

Хх( | Х хЯ х|).

При

любом

Строим [ХхЯ х]

положении точки Хх на

стороне [АС)

острого /_ ВАС

эта

окруж­

ность пересекает луч [AM) в двух

точках М ± и М\.

Теперь ясно, что

если М = м \

или М = Mv то точка

X = Хх.

Если М ф М г и М ф М \,

то

через

М

проводим

(МН)

|| (ЛДЯХ)

(рис. 85). Из точки Н восставляем

перпендикуляр к

[АВ).

В пере­

треугольников Я хХх/и!

и НХМ.

если

проведем через

Еще одно решение

(точку X 1) получим,

М прямую,

параллельную (МХЯ х).

В

пересечении

с (АВ) получим

точку Н'.

Восставим

перпендикуляр

к (АВ)

в точке Н'. При его

пересечении с лучом [АС) получим точку X ' .

пересечь отрезком

Задача 7. Данную трапецию ABCD (рис.

86)

[ЕЯ], параллельным основаниям,

так,

чтобы

он

разделился диаго­

налями на конгруэнтные отрезки

[ЕХ], [КМ]

и [МН].

Выясним сначала,

сколько решений имеет

эта

задача. Для

этого через точку О пересечения диагоналей

[ВВ] и [АС] проведем

отрезок [Р0Я 0] II [ВС].

Треугольники OH0D

и

BCD,

F0OA и ВСА

оснований

трапеции.

Поэтому

существует два положения

от­

резка

[FH], при

котором |В /(|

= | КМ | = \МН |.

На

рис.

86

этим

положениям

соответству­

ют отрезки

[В1Я 1] и

[В2Я 2].

треугольника K-iH^C. Но

треугольники СК1Н1 и CAD подобны.

Поэтому середина отрезка

[AD] (точка

Е) принадлежит

прямой

(М1С). Теперь

ясно, что (Bi#x) проходит

через точку Мъ в кото­

рой пересекаются медиана [СВ]

треугольника

ADC и

диаго­

наль [BD].

аналогично,

приходим

к выводу, что отрезок

[В2Я 2]

Рассуждая

проходит через

точку Я2,

в которой

пересекаются

диагональ [DB]

инверсии (рис. 87). Для

упрощения построений в качестве степени

инверсии k возьмем квадрат диаметра окружности со2.

условии

Итак,

k = \MFf,

где

\MF |— диаметр

со.2.

При

этом

инверсия с центром

М переведет окружность со3

в прямую рг, касаю­

щуюся <о2 в точке F. Эта же инверсия

преобразует окружность

<%

в прямую ръ перпендикулярную прямой (MOj и проходящую

через

точку

Р',

определяемую

из

равенства

| М Р ' \ ■\ М Р | = | MF |2,

т.

е.

|М Р '

| = \MF |2 : | М Р |. При

этой

же

инверсии

точка

А

преобра­

зуется в точку А',

принадлежащую

лучу

[МА)

и

определяемую

равенством

\М А ' \ —

\MF\*:

| М А \.

преобразуется

в

окруж­

Искомая

окружность

со

этой инверсией

ность <м',

проходящую

через

А'

и

касающуюся

прямых

рх и р.2.

Построение окружности

со' сводится к определению

ее

центра —

точки О'. Этот центр лежит

на

биссектрисе I

угла,

образованного

прямыми рх и р.г. Итак,

эта задача свелась к отысканию на прямой

I точки

О', одинаково

удаленной

от

прямой

рх

и

точки

А'

(см. задачу

6).

прямой

(В'С')

строим

точки

В

и С, определяемые

равенствами

| МВ | =

| MF |2: | МВ' |, |МС | =

|MF |2: |МС' |.

Середина

(точка

О)

отрезка [SC] является центром искомой окружности.

две

Задача имеет два решения,

потому

что

можно построить

окружности, проходящие через А’ и касающиеся

пересекающихся

прямых рх и р2.

Упражнения

Метод параллельного переноса

1.

Даны две точки А н В

и

между

ними

две [параллельные

прямые

(МК)

п (PH).

Провести между прямыми

в

заданном

направлении

отрезок [CD]

так,

чтобы сумма | АС 1+ | CD | +

| BD 1 была

наименьшая.

| АВ \ -f

| CD |

2.

Доказать,

что

если

у

четырехугольника

ABCD 2| MN | =

(/VI — середина стороны

[AD],

/V — середина

стороны [ВС]), то

этот

четырех­

угольник

является

трапецией.

[£>£] данной длины

(D

лежит на

3.

В треугольнике АВС провести отрезок

стороне

[АВ], Е — на [ВС])

так,

чтобы

отношение

| AD | : | СЕ |

было

данное.

4.

Стороны Д АВС равны а, Ь, с. Доказать, что длина его медианы [/1М]

определяется по формуле | AM \ =

0,5 У 2 (6 2 +

с2) — а2.

зная

два

отрезка,

5.

Построить

вписываемый

четырехугольник

ABCD,

11 А. Б. Василевский

161

10.

П остроить

треугольник

Л В С ,

зная

угол В н

медианы

А Е

и CD.

Метод осевой симметрии

И .

Построить треугольник АВС,

зная

сторону

[ВС], высоту

[АН] и бис­

сектрису [j4/\ ].

окружность,

касающуюся прямой (АВ)

в данной точке /VI

12.

Построить

ности,

описанной

около этого треугольника.

его стороны, если диагональ

14.

Построить

четырехугольник ABCD, зная

АС делит угол пополам.

15.

Доказать,

что если многоугольник имеет

больше двух осей симметрии,

18.

Построить треугольник АВС,

зная

А,

длину

медианы

[ВМ] и сумму

длин сторон [ЛС] и [АВ].

прямоугольник с неконгруэнтными

19.

Доказать,

что если в квадрат вписан

сторонами так, что

на каждой стороне квадрата лежит одна

вершина прямо­

угольника, то диагонали квадрата являются

осями симметрии

прямоугольника.

20.

Из данных

точек Л и В провести

две прямые

так, чтобы

угол между

ними делился данной прямой (МК) пополам.

треугольников с общим основанием

21.

Доказать, что из всех равновеликих

наименьший периметр

имеет равнобедренный треугольник.

Метод вращения

22.

Дана точка

Л

и прямые а

и Ь.

Построить

правильный

треугольник

27.

Доказать, что произведение

четного

числа осевых симметрий есть

вращение около точки или параллельный перенос.

28.

Даны две пересекающиеся

в

/VI

и

К окружности

и на них по точке

Л и В.

Провести окружность через

Л

и

В,

встречающую

данные

окружности

в X и К так, чтобы дуги АХ и BY

данных

окружностей

имели

одинаковое

число градусов.