Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

w{t, т) содержат 6-функции

w(t, т) = k (t, x)-\-k(t)8(t—x),

где k(t, т) и k(t) — матрицы, являющиеся элементами гильбер­ това пространства L2[a(t), b(t)\ функций, интегрируемых с квадратом. В этом случае в функционалах (2.9), (2.11) следует видоизменить сглаживающий функционал, записав последний в виде

allLk(t, т) -\-L\k{t) \\иLz,

где L\ — соответствующим образом выбранный оператор; гиль­ бертово пространство Кь строится аналогично пространству WL.

После преобразования сглаживающего функционала полу­ чаем, что решение задачи идентификации в случае описания функционального параметра уравнением, содержащим обобщен­ ные функции, принципиально не отличается от рассмотренного выше случая, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только уравнение (2.13).

Пусть Wa}(t,%) и Ryix{t,Q) — i-e строки матриц wa(t,x) и RVx(t, Q) соответственно. Несложно показать, что уравнение (2.13) распадается на т независимых систем из п операторных

с одинаковыми операторами Ra в левой части. В дальнейшем для простоты записи индекс <ш> не указывается.

Покажем, что в том случае, когда отрезок идентификации ограничен, т. е.

[a{t),b(t)]cz[t0, Г],

где t0,T — некоторые конечные числа (t0< T ), уравнение (2.15) можно преобразовать в эквивалентное одномерное уравнение. Чтобы не усложнять последующих выкладок, примем сх = 0. Вве­ дем новые величины: нестационарный отрезок lc(t), d(t)], ядро 5(т, 0), свободный член h (t,Q) и функциональный параметр u(t,x) при помощи следующих соотношений:

c(t) =a(t)\ d(t) — n[b(t)—a(t)]+a(t)-,

S (t, 0) = R xixn{ T - ( / - 1) [b ( t ) - a (t) ], 0 {k— 1) [b (t) - a (()]};

Используя эти обозначения, несложно показать, что урав­ нение (2.15) при а = 0 эквивалентно следующему скалярному уравнению:

если в последних заменить аргумент т на аргумент х\ + (/— 1) X Х [6 (0 _ а(^)] и аргумент 0 на аргумент 0] + (&— 1) [b(t)— a(t)] при условии

a ( t ) ^ Z Ti, Q i ^ . b ( t ) .

В общем случае при афО скалярное уравнение, эквивалент­ ное векторному уравнению (2.5), получается путем применения метода регуляризации Тихонова к уравнению (2.17).

Допустим, что все компоненты матрицы Rxx(x, 0) являются элементами пространства L2[a(t), b(t)]. В этом случае опера­ тор 5, определяемый левой частью уравнения (2.17), обладает следующими свойствами:

1) ядро оператора S(r, 0) удовлетворяет условию

|5(т, 0) | ^;У5(т, т)5(0, 0).

Это выражение следует непосредственно из формул (2.16) и свойств корреляционных функций [2.22];

2) оператор S самосопряженный, так как

S ( t , 0 ) = S ( 0 , т);

3) оператор 5 вполне непрерывен в L2[c(t), d(t)]. Для этого достаточно, чтобы [1.9]

d(t) d(t)

||«S|[2= J J S2(t, Q)dxdQ<oo. c(«) e(t)

Легко показать, что с учетом этих обозначений запись функционального ряда Вольтерра упрощается и принимает следующий вид:

b(t)

Интегрирование в полученном выражении ведется по каждой из ком­

понент многомерного аргумента т* в пределах от a(t) до b(t). Очевидно, что построенное математическое описание может относиться и к более общим нелинейным системам, чем описываемые функциональным рядом Вольтерра. С другой стороны, полученное интегральное уравнение является частным случаем уравнения (2.7) системы, приводимой к линейной. Более того, ин­ тегральное уравнение, описывающее нелинейную непрерывную систему, прин­

и интегрирования [1.38], обусловленных многомерностью аргумента Xk-

2.3.УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Вданном параграфе выводятся уравнения идентификации для систем, описываемых уравнением (2.6) в том случае, когда опе­ ратор А линеен по совокупности переменных {х,р, г}, а про­ цесс измерения определяется уравнениями (2.8).

Уравнение (2.6) не разрешено в 'явном виде относительно выходной переменной и содержит неизвестный вектор состоя­ ния, поэтому непосредственное применение функционала потерь (2.9) для получения уравнения идентификации невозможно. Использование метода множителей Лагранжа для решения за­ дачи минимизации функционала (2.9) при ограничениях (2.6), (2.8), а также других алгоритмов построения минимизирующих последовательностей [2.23] в общем случае оказывается не­ достаточно эффективным.

Воспользуемся для получения уравнения идентификации

другим подходом. Из выражений (2.8) и линейности оператора А следует, что

М {vxT} — М {рхт} — М{ухт}.

Подставив в уравнение (2.6) значение р = и из (2.8), умножив полученное выражение на х 1 и применив операцию математи­ ческого ожидания, получим

причем матрицы а ,(0 и b i ( t ) определяются матрицами W i ( t ) . Например, пусть матрица w3(t) квадратная и невырожденная. Тогда

не единственным образом и связан с проблемой канонического представления

Ra.woc= aL*Lwa+ wcc(t)C(t);

C(t)= Jbit)N(t,Q)N(t,Q)TdQ-,

a(t)

bit)

f(t)= J JtRy*(b3 )..N(t,9) rrf0.

alt)

В том случае, когда порядок s уравнения (2.21) невелик, а дифферен­ цирование корреляционных функций осуществляется с небольшой погреш­ ностью, изложенный метод позволяет эффективно восстанавливать диффе­ ренциальное уравнение системы. Это достигается применением двукратного сглаживания экспериментальной информации при определении корреляцион­ ных функций и последующем построении уравнения (2.10).

Если реализация операции дифференцирования требуемого порядка осуществляется с большой погрешностью, то для по­ лучения уравнения идентификации системы (2.21) следует при­ менять другой метод.

Рассмотим уравнение

S— 1 S

с начальными условиями в момент t— t0