Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

например, при помощи алгоритмов стохастической аппроксима­ ции [2.37]. Преимущество аналитических методов в этих слу­ чаях заключается в возможности исследования степени адек­ ватности модели и системы. Задача определения меняющихся во времени обобщенных параметров принципиально требует на­ личия множества реализаций, поэтому при ее решении второй и третий этапы процесса идентификации несовместимы. В даль­ нейшем основное внимание будет уделено устойчивым аналити­ ческим методам решения задач третьего и четвертого этапов идентификации.

2.2. УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ, ПРИВОДИМЫХ К ЛИНЕЙНЫМ

Определение 2.3. Динамическая система с известной струк­ турой называется приводимой к линейной, если ее оператор ли­ неен относительно обобщенных параметров. Если оператор по­ добной системы является линейным по отношению к совокуп­ ности переменных, характеризующих происходящие в ней про­ цессы, то такая система называется линейной.

Уравнение (2.1) для системы, приводимой к линейной, за­ писывается следующим образом:

где А — некоторый линейный по аргументу w оператор с об­ ластью определения Ex XEw и областью значений EPx E z.

Допустим, что ограничения на функциональный параметр отсутствуют, т. е. Ew s=W, а пространства X, P = Y ,Z ,W явля­ ются гильбертовыми.

В данном параграфе рассмотрим уравнение (2.6) только для того случая, когда оно разрешимо в явном виде относительно выходной переменной

W в гильбертово пространство У.

где М {-} — операция нахождения математического ожидания.

4 — 2733

ГЛАВА II

50

В функционирующих системах обычно несложно привести действующую помеху к выходу [2.13], причем в большинстве случаев эквивалентная выходная помеха является аддитивной и некоррелированной с сигналом А[х] ш при любых значе­ ниях w. Поэтому условия (2.8) не накладывают значительных ограничений на процесс измерения.

В качестве функционала потерь выберем следующий*:

где L — сглаживающий линейный оператор, действующий из пространства W в гильбертово пространство Wl’,

а > 0 — параметр регуляризации [1.30]; У — гильбертово пространство.

Конкретные требования к оператору L будут уточнены впо­ следствии. Отметим лишь, что функционал (2.9) является общей записью для регуляризующего функционала А. Н. Тихонова [1.30]. Использование подобного вида функционала потерь вы­ звано следующими обстоятельствами:

а) задача минимизации функционала (2.9) при специаль­ ном выборе оператора L является корректно поставленной, по­ этому решение задачи идентификации в этом случае устойчиво;

б) при помощи изменения параметра регуляризации а уда­ ется связать погрешность решения задачи идентификации с по­ грешностями измерения и вычисления;

в) при « = 0 функционал (2.9) вырождается в обычный фун­ кционал среднеквадратической ошибки, который достигает сво­ его минимального значения при истинных значениях обобщен­ ных параметров, если только входящие в (2.9) моменты случай­ ных функций определены точно.

Таким образом, применение в задаче идентификации систем, приводимых к линейным, функционала потерь в виде суммы функционала среднеквадратической ошибки и сглаживающего функционала Тихонова является эффективным средством полу­ чения устойчивого решения.

Используя стандартные приемы вариационного исчисления [2.3], получаем уравнение идентификации системы (2.7) при функционале (2.9)

*В качестве оператора М{-} в функционале (2.9) можно рассматривать

М{(А[х] ■w, у}= (w, М{А*[х\-у}).

где

Ra=aL*L+M{A* [х] А [х ]};

f=M {A*[x]y}-

индекс «*» обозначает оператор, сопряженный к исходному.

Оператор Ra в общем случае является неотрицательно опре­ деленным при а = 0 и положительно определенным при а>0. Поэтому, используя обратный оператор RoT1, можем записать решение задачи идентификации в виде

wa= Rar if-

Вычислительные алгоритмы для решения уравнения (2.10) будут рассмотрены в следующих главах.

На практике в функционале (2.9) вместо моментов случай­ ных функций используются нх оценки, полученные на основании г реализаций

При этом уравнение идентификации записывается в виде (2.10), но в оператор Ra и свободный член f входят оценки мо­ ментов случайных функций

уравнений идентификации непрерывных линейных систем. Уравнения, опи­

a(t)

где w(t,x) — (mXn) — матрица импульсных переходных функций,[a{t), b(t)] — нестационарный отрезок идентификации.

Уравнение идентификации системы (2.12) записывается следующим обра­

зом:

b(t) .

aL*Lwa (i, 0) + f w0,(t,x)Rxx(x,Q)dx = Ryx(t,Q), j

a(t)

4*