Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
59 |
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
|
Умножим уравнение (2.23) |
на — |
^ ^----- и проинтегрируем |
полученное выражение по аргументу т в пределах от t0 до Т, используя формулы интегрирования по частям. В результате [2.8] получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно y (t):
|
t |
|
|
y { t ) + |
J Ko(t, x)y(x)dx = |
|
|
|
to |
|
|
|
t |
|
|
= ds(t)x (t)+ |
j* L0(t, x)x(x)dx+F0(t), |
(2.24) |
|
где |
|
|
|
S —1 |
|
|
|
k=l |
4 |
' |
|
ds(t) — bs(t) ;
h = 0 i = h +i |
u% |
' |
*'• |
. -fli(T )y 0W] } |
|T=fo• |
|
|
Из неравенства Шварца |
[1.17] |
и условий разрешимости ин |
|
тегральных уравнений |
Вольтерра |
[1.9] следует, что уравнение |
|||
(2.24) имеет |
решение |
в |
L2lt0T], |
если функции |
cti{t), bi(t) е |
e L 2(i)Ho, Л, |
т. е. имеют |
абсолютно непрерывную |
производную |
||
порядка (i—1) и производную порядка i, суммируемую с квад ратом на отрезке [t0, Г], a x ( t ) ^ L 2[t0, Т].
Обозначим через Н(^,т) резольвенту ядра Ko(t,x). Тогда не сложно показать, что импульсная переходная функция системы (2.23) может быть определена уравнением
w(t, l ) = d s(t)6 (t -l)+ L o (t, £) +
t
+ H {t ,l)d s( l ) + | H{t,x)L0(x,l)dx.
ГЛАВА II |
60 |
|
Общее решение неоднородного уравнения (2.23) выражается
через |
нормальную фундаментальную |
систему решений ф0(О> |
|||||
.. ., |
y —i(t) однородного уравнения |
следующим |
образом: |
||||
|
|
S— 1 |
|
t |
|
|
|
|
Ы 0 = |
] С fifo(i* P i(0 + /(0 + |
j |
H(t,x)f(x)dx, |
|
||
где |
|
i = 0 |
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( t ) = F 0(t) L(i>=o__ + d s( t ) x ( t ) + |
J L0(t,x)x(x)dx; |
|||||
|
|
I (i=0,s— |
|
|
to |
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
Фi ( t ) = f i ( t ) + |
j H(t,x)fi(x)dx] |
|
|
||
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
«■(') |
]• |
|
k—i+l |
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
2.2. Последние |
формулы |
и |
выражения |
для |
импульсной |
|
переходной функции w(t,%) позволяют обобщить известные формулы [2.13] определения эквивалентных начальных условий для вычисления импульсной переходной функции на случай bs(t)¥= О
а>о(ц,(?) |
duw(t, |
—ds-u-l(^) Cs—u—j(£.)ds(£) |
|
|
dFl |
||
«—1 |
|
t=l |
|
u—k—1 |
|
||
- |
2 |
( " О ' * |
' a<«l+)t+._u (|), (u=~o7sZ~l). |
fe= 0 |
1=0 |
|
|
З а м е ч а н и е |
2.3. |
Рассмотренное |
преобразование дифференциального |
уравнения (2.23) к интегральному уравнению Вольтерра (2.24) позволяет строить эффективные аппроксимации для y{f) и w(t, g), миноранты, мажо ранты и оценки погрешности для искомого решения [2.11], интегральные уравнения для корреляционных функций, а также решить в явном виде по ставленную в работе [2.29] задачу приведения нестационарного дифферен циального оператора к сумме стационарных операторов
.9 |
S |
b(t, p)x(t) = ^Л{(/)х<-'>(*) = |
''^p i[ds{t)x(t)] =d(p, t)x(t). |
i = 0 |
1=0 |
Преобразуем теперь выражения для ядер интегрального уравнения (2.24) к виду
K t ( t ,x ) = £ ~ f V u - i ( t ) ;
•u=0
61 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Lo{t, т ) — |
£ |
|
где |
и = 0 |
|
s—к—1 |
|
|
|
|
|
;ft(T) — |
(— \)lCh+ihcih+ft){x)'’ |
|
|
u ~ О |
(2.25) |
|
s—k |
|
|
|
|
d k (r )= |
^ ( - Ц ’Сь+рЬьЛЧ*)- |
|
|
ь=о |
|
Переходя в уравнении (2.24) к корреляционным функциям, используя формулы (2.25) и считая начальные условия нуле выми, получаем
t |
s—1 |
(t—x) s—k—1(Cft(T)7?yK(T, 0)- |
|
R y x ( t , 0) -f- J |
Ir |
|
|
u tTo (s—/г—1)1 |
|
||
dk{i)Rxx{r, Q)]dx—ds(t)Rxx(t) = 0 . |
(2.26) |
||
Применяя для нахождения уравнения идентификации си стемы (2.26) функционал потерь типа (2.19)
|
т |
t |
|
|
J w (t, x)M (t, x, 0) dx| X |
||
h-- |
j |
J s p { [ R y x (t, 0) — |
|||||
|
to |
to |
|
|
|
|
|
X |
[#»*(*, 0 ) - |
j |
w(t,x)M (t,x,Q)dx]\ |
dddt-{- |
|||
|
|
|
|
+a\\Lw\\w |
|
||
приходим к уравнению (2.10), в котором |
|
||||||
wa {t, т ) = |
[ — с 0 ( т ) ; . . . |
1— |
c s_ i ( т ) \d0( т ) j . . . j d s- i ( т ) \d,(t) ] ; |
||||
|
M(t,x,Q)T= |
|
-Rxy(Q,x) |
|
|||
Rxy(e, x) |
(t—x) s—i |
|
|
Rxx(Q,t) i |
|||
(5— 1)! |
•^жж(0, т)| . . . (#жж(0, t) |
t—t0 |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
T |
T |
|
|
RaWa — aL*Lwa+ |
t0
dx J wa (z, x) dzX
тахЦ.т)
ГЛАВА II |
62 |
z
X J M (z, x, Q)MT (z, x, Q)dQ;
to
T z
f = \ dz J Ryx{z, 0)M(z, t, 0)Td0.
to |
tо |
Найдя из уравнения (2.10) величины обобщенных парамет ров, используем их для восстановления интегрального уравне ния (2.26), которое полностью описывает исследуемую систему.
В том случае, когда по какой-либо причине требуется опре делить коэффициенты дифференциального уравнения (2.23), следует пользоваться рекуррентными соотношениями, вытекаю щими из формулы (2.25):
|
|
s—k—i |
ak(x) = |
ch(x) — |
V. {—\yCh+ihak+f)(x)\ |
|
|
1=1 |
|
|
s—h |
bK( x ) = d h(x)~ |
( - l ) lCk+lkbh+f)(x). |
|
|
|
i=l |
З а м е ч а н и е 2.4. |
В полученные выражения также входит операций |
|
многократного дифференцирования. Однако в данном случае находятся про изводные не корреляционных функций, а коэффициентов Ch{t) и dk(t), опре деленных в результате двойного сглаживания исходных данных. Поэтому погрешности дифференцирования оказываются меньшими, чем при приме нении алгоритма непосредственного восстановления дифференциального урав нения'.
З а м е ч а н и е 2.5. Особенно простым оказывается применение предла гаемого метода в задаче идентификации стационарной системы, находящейся под воздействием стационарных входных сигналов, при io= —°°. В этом случае уравнение (2.26) является интегральным уравнением Винера—Хопфа второго рода и записывается следующим образом:
оо 5—1
RVx(t)+ [ |
V V.- т- |
[akRyx(t-x) -bkRxx(t-x)] d%—b(t)Rxx(t) =0. |
J |
Z J (s —A — 1)! |
|
|
k=D |
|
Используя функционал потерь
12 ~-= jсо sp {[# v* ( /) -wM(t)] T[Ryx(t) -wM(t)~\}dt+ a sp [wTw],
0
получаем уравнение идентификации (2.10) в виде системы линейных алгеб раических уравнений
со |
оо |
wa (al+ fM{t)Mt(t)dt)= |
f Ryx(t)MT (t)dt. |