Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
25 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
4) ортопроектор PL конечномерен и вполне непрерывен, если подпространство L конечномерно. Если пространство L беско нечномерно, то соответствующий ему ортопроектор не вполне непрерывен.
Отметим, что в банаховом пространстве можно также ввести понятие оператора проектирования на некоторое подпростран ство. Однако теорема 1.4 в этом случае не имеет места, поэтому проектирование не является ортогональным.
1.5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ1
Воставшихся параграфах данной главы (если не указано про тивное) символом А обозначается линейный оператор, дейст вующий из банахова пространства В в банахово пространство С
и имеющий область определения D(A)czB и область |
значений |
£(А)с=С. |
|
Определение 1.35. Уравнение |
|
А х — у |
(1.10) |
с известными оператором А и свободным членом р е С |
называ |
ется линейным операторным уравнением относительно неизвест ного элемента х.
Мы покажем ниже, что подобные уравнения являются основ ными при решении задач идентификации различных типов ли нейных и нелинейных систем. Приведем основные понятия тео рии линейных уравнений, необходимые для дальнейшего изло жения.
Определение 1.36. 1) Совокупность всех решений однородного
уравнения |
|
(1.11) |
|
|
А х = 0 |
|
|
называется нуль-пространством, или ядром N (А) |
оператора А. |
||
2) |
Уравнение (1.10) называется: |
если N ( A ) = 0 ; |
|
а) |
однозначно-разрешимым на 7?(А), |
||
б) |
корректно-разрешимым на /?(А), |
если |
для любого |
x^D(A) справедливо неравенство ||х||в^/г||Ах||с, причем число k не зависит от х;
в) везде разрешимым, если R (A) = С;
г) плотно разрешимым, если J?(A) = С ;
д) нормально разрешимым, если /?(А) замкнуто: R(A) =
=ЩА).
Очевидно, что для однозначно-разрешимого уравнения на i?(A) существует обратный оператор А~1. Если уравнение кор ректно разрешимо, то его решение непрерывно зависит от сво
1 Излагается по работам [1.9, 1.16, 1.34, 1.37].
ГЛАВА I |
26 |
бодного члена у, так как корректная разрешимость эквивален тна ограниченности оператора Л-1. Смысл остальных определе ний разрешимости ясен и зависит только от характера области значений -К (Л ).
Определение 1.37. Линейный оператор А называется замкну тым, если из того, что хп-^х и и/, следует, что x ^ D ( A ) и
Ах = у.
Можно показать, что ограниченный оператор, определенный на всем пространстве В, замкнут. Роль замкнутых операторов в теории линейных операторных уравнений определяется сле дующей теоремой.
Теорема 1.5 [1.16]. Допустим, что оператор А замкнут, а его область определения всюду плотна в В. Тогда существует сле
дующая связь между свойствами уравнения (1.10) |
и сопряжен |
|||||
ного к нему |
(g^C*; |
f^B*). |
|
(1.12) |
||
|
A * g = f |
|
||||
1) |
Уравнение (1.10) |
|
|
Уравнение |
(1.12) |
|
однозначная разрешимость1 |
плотная разрешимость; . |
|||||
2) |
корректная разрешимость |
< = > |
везде разрешимость; |
|||
3) |
везде разрешимость |
|
<=:> |
корректная |
разрешимость; |
|
4) |
плотная разрешимость |
|
< = > |
однозначная |
разрешимость; |
|
5) |
нормальная разрешимость |
<д=) |
замкнутая разрешимость. |
Следовательно, при изучении существования и свойств решений уравнений с замкнутым оператором основную роль играют свойства сопряженных уравнений.
В теории систем линейных алгебраических уравнений с квад ратной матрицей имеется простая связь между решениями основного и сопряженного уравнений [1.35]. Эта связь имеет место и для операторных уравнений при специальном виде опе ратора А.
Определение 1.38. Оператор А называется фредгольмовым, если он представим в виде
А = и~'+Т, |
(1.13) |
где U — ограниченный оператор, определенный на всем С и имеющий обратный U~l; Т — компактный оператор, действую щий из В в С. Если в (1.13) U = I при В = С, то оператор А называется каноническим фредгольмовым.
Очевидно, что уравнение (1.10) с фредгольмовым оператором А корректно разрешимо. Остальные условия разрешимости опи саны в следующей теореме.
1 Запись а |
Ь обозначает, что из а следует b а запись а ( = > Ь, |
что а к Ь эквивалентны.
27 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
Теорема 1.6 [1.9]. Допустим, что оператор Л является кано ническим фредгольмовым в банаховом пространстве В. Тогда 1) уравнение (1.10) разрешимо в том и только в том случае, когда < £ / , / > = 0 для любого (еЛ * и удовлетворяющего сопря
женному однородному уравнению
|
A * f = 0; |
(1.14) |
и |
2) число линейно-независимых решений g уравнений (1.10) |
|
(1.14) одинаково. |
|
|
к |
Любое фредгольмово уравнение может быть преобразовано |
|
каноническому фредгольмову, поэтому |
приведенная теорема |
с соответствующими изменениями справедлива для произволь ных фредгольмовых уравнений. В связи с этим рассмотрим воз можности преобразования уравнения (1.10) к каноническому фредгольмову.
Определение 1.39. 1. Линейный ограниченный оператор S, действующий из С в банахово пространство F, называется ле вым эквивалентным регуляризатором для оператора А, если оператор 5Л — канонический Фредгольмов, D (S)z^R(A) и N (S) = 0 .
2. Ограниченный линейный оператор V, действующий из ба нахова пространства G в В, называется правым эквивалентным регуляризатором для оператора А, если оператор AV — кано нический фредгольмов и D(A)c^R(V).
Из этого определения следует, что в результате эквивалент ной регуляризации уравнение (1.10) с произвольным операто ром может быть преобразовано к эквивалентному каноничес кому фредгольмову уравнению. В частности, для фредгольмова оператора (1.13) оператор U является эквивалентным левым
иправым регуляризатором, если R(U) zdD(A) .
Взаключение данного параграфа рассмотрим понятие спек
тра оператора, которое связано с разрешимостью уравнения
Ах—к х = (Л—Х1)х=у, |
(1.15) |
где к — некоторое произвольное число.
Определение 1.40. Число а называется регулярным значе нием оператора А, если уравнение (1.15) корректно и плотно разрешимо. Совокупность всех регулярных значений называется резольвентным множеством оператора А, а дополнение к нему на комплексной плоскости — спектром оператора А. Оператор
Rx(A) — {А — kl)~l, определенный для регулярных |
а, называ |
ется резольвентой оператора А. |
|
Пример 1.1. Интегральное уравнение |
|
%x{t)+ JЬ K(t,x)x(x)dx=y{t) |
(те) |
а
ГЛАВА I |
28 ' |
называется |
интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Для всех |
||
регулярных X решение уравнения |
(1.16), если оно существует, |
может быть |
|
определено |
при помощи резольвенты r(t, х,Х) ядра K(t,%) по |
следующей |
|
формуле [1.34]: |
Jь r(t,x,X)y(x)dx]. |
|
|
|
= |
(1.17) |
' а
Спектр ограниченного оператора лежит в круге |Я|^||Л|| и всегда не пуст. Радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего спектр оператора А, называется спект ральным радиусом г (А) оператора А. Справедлива следующая формула [1.371:
г(Л) = Нт У1И||"^М||.
Если |Я|>г(Л), то резольвента представляется сходящимся по норме рядом
|
« 1(л , = - ф ( ; + ф л + |
‘ |
|
|
|
|
|
|
г |
ь |
ь |
Пример 1.2. |
Допустим, что в уравнении |
(1.16) |Я|> |
/ / |
КЦ1, т)Х |
|
|
|
|
*-п а |
|
|
X dtdzJ |
Тогда резольвента f(t, т, Я) представляет собой сильно сходящийся |
||||
¥ |
|
|
|
|
|
в L2[a, b) X (а, Ъ)] |
ряд1 [1.34] |
|
|
|
|
|
|
r(t, т Д )= X ( - а)-^КДТ т), |
|
(1.18) |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
в котором итерированные ядра Kj{t*т ) определяются рекуррентными фор мулами
|
Kl(t,x)=K(t,x) |
|
|
Kn+m(t,x)= Jъ Kn(t,&)Km(@,x)d@ |
(т, П= 1, 2, . . . ) . |
||
|
а |
|
|
Пример 1.3. Интегральным оператором Вольтерра называется оператор |
|||
Ax(t) = Jt |
K(t,x)x(x)dx . |
(1.19) |
|
__________________ __________________________________ |
a |
|
|
1 X x Y называется прямым произведением пространств X и Y и обозна чает совокупность всевозможных пар {х, у}, х<=Х, г/еУ.
29 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
||
Если K(t, Т) |
непрерывна в |
треугольнике |
то в пространстве |
С(а,Ь) спектр оператора (1.19) |
состоит из одной точки X=0. |
Определение 1.41. Число X называется собственным значе нием оператора А, если однородное уравнение Ах = лх имеет при данном X нетривиальное (отличное от нуля) решение. Это ре шение называется собственным элементом оператора А, соот ветствующим собственному числу X.
Смысл собственных чисел и собственных элементов стано вится особенно ясным, если допустим, что оператор А явля ется самосопряженным в гильбертовом пространстве Н.
Определение 1.42. Нижней и верхней границами самосопря женного оператора А называются соответственно числа т —
= inf (Ах, х) |
и M = sup(Ax, х). |
11x11=1 |
||х!1 = 1 |
Самосопряженный оператор А называется положительным, |
|
если m^sO, |
и положительно определенным, если т > 0. |
Для нормы самосопряженного оператора справедливо соот ношение \\А|= т а х { |от , \М|} =sup |(Ах, х) |.
||Х || = 1
Собственные числа самосопряженного оператора вещест венны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны. Если самосопря женный оператор вполне непрерывен, то его спектр состоит из собственных чисел и точки 0.
1.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ1
Допустим, что существование и единственность решения урав нения (1.10) установлены. После этого основной задачей явля ется приближенное в общем случае отыскание элемента х, удовлетворяющего рассматриваемому уравнению. Для этой цели конструируется алгоритм, позволяющий определять по следовательность {хп} а В приближенных решений таких, что
limxra = x. Фактически, мы можем найти лишь конечное число
П-^ОО
членов последовательности {х"}. Поэтому кроме исследования сходимости рассматриваемого алгоритма должна быть по строена также оценка погрешности ||хп —х||в, позволяющая определить степень близости приближенного решения к точному.
Затем необходимо исследовать устойчивость используемого алгоритма, т. е. влияние на него ошибок вычислений и погреш ностей задания оператора А и свободного члена у.
Сформулируем описанный процесс нахождения приближен ных решений. В настоящее время разработано большое число
1 Излагается по работам [1.2, 1.20, 1.25, 1.27, 1.37].