Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

25

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

4) ортопроектор PL конечномерен и вполне непрерывен, если подпространство L конечномерно. Если пространство L беско­ нечномерно, то соответствующий ему ортопроектор не вполне непрерывен.

Отметим, что в банаховом пространстве можно также ввести понятие оператора проектирования на некоторое подпростран­ ство. Однако теорема 1.4 в этом случае не имеет места, поэтому проектирование не является ортогональным.

1.5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ1

Воставшихся параграфах данной главы (если не указано про­ тивное) символом А обозначается линейный оператор, дейст­ вующий из банахова пространства В в банахово пространство С

и имеющий область определения D(A)czB и область

значений

£(А)с=С.

 

Определение 1.35. Уравнение

 

А х — у

(1.10)

с известными оператором А и свободным членом р е С

называ­

ется линейным операторным уравнением относительно неизвест­ ного элемента х.

Мы покажем ниже, что подобные уравнения являются основ­ ными при решении задач идентификации различных типов ли­ нейных и нелинейных систем. Приведем основные понятия тео­ рии линейных уравнений, необходимые для дальнейшего изло­ жения.

Определение 1.36. 1) Совокупность всех решений однородного

уравнения

 

(1.11)

 

А х = 0

 

называется нуль-пространством, или ядром N (А)

оператора А.

2)

Уравнение (1.10) называется:

если N ( A ) = 0 ;

а)

однозначно-разрешимым на 7?(А),

б)

корректно-разрешимым на /?(А),

если

для любого

x^D(A) справедливо неравенство ||х||в^/г||Ах||с, причем число k не зависит от х;

в) везде разрешимым, если R (A) = С;

г) плотно разрешимым, если J?(A) = С ;

д) нормально разрешимым, если /?(А) замкнуто: R(A) =

=ЩА).

Очевидно, что для однозначно-разрешимого уравнения на i?(A) существует обратный оператор А~1. Если уравнение кор­ ректно разрешимо, то его решение непрерывно зависит от сво­

1 Излагается по работам [1.9, 1.16, 1.34, 1.37].


ГЛАВА I

26

бодного члена у, так как корректная разрешимость эквивален­ тна ограниченности оператора Л-1. Смысл остальных определе­ ний разрешимости ясен и зависит только от характера области значений -К (Л ).

Определение 1.37. Линейный оператор А называется замкну­ тым, если из того, что хп-^х и и/, следует, что x ^ D ( A ) и

Ах = у.

Можно показать, что ограниченный оператор, определенный на всем пространстве В, замкнут. Роль замкнутых операторов в теории линейных операторных уравнений определяется сле­ дующей теоремой.

Теорема 1.5 [1.16]. Допустим, что оператор А замкнут, а его область определения всюду плотна в В. Тогда существует сле­

дующая связь между свойствами уравнения (1.10)

и сопряжен­

ного к нему

(g^C*;

f^B*).

 

(1.12)

 

A * g = f

 

1)

Уравнение (1.10)

 

 

Уравнение

(1.12)

однозначная разрешимость1

плотная разрешимость; .

2)

корректная разрешимость

< = >

везде разрешимость;

3)

везде разрешимость

 

<=:>

корректная

разрешимость;

4)

плотная разрешимость

 

< = >

однозначная

разрешимость;

5)

нормальная разрешимость

<д=)

замкнутая разрешимость.

Следовательно, при изучении существования и свойств решений уравнений с замкнутым оператором основную роль играют свойства сопряженных уравнений.

В теории систем линейных алгебраических уравнений с квад­ ратной матрицей имеется простая связь между решениями основного и сопряженного уравнений [1.35]. Эта связь имеет место и для операторных уравнений при специальном виде опе­ ратора А.

Определение 1.38. Оператор А называется фредгольмовым, если он представим в виде

А = и~'+Т,

(1.13)

где U — ограниченный оператор, определенный на всем С и имеющий обратный U~l; Т — компактный оператор, действую­ щий из В в С. Если в (1.13) U = I при В = С, то оператор А называется каноническим фредгольмовым.

Очевидно, что уравнение (1.10) с фредгольмовым оператором А корректно разрешимо. Остальные условия разрешимости опи­ саны в следующей теореме.

1 Запись а

Ь обозначает, что из а следует b а запись а ( = > Ь,

что а к Ь эквивалентны.


27

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Теорема 1.6 [1.9]. Допустим, что оператор Л является кано­ ническим фредгольмовым в банаховом пространстве В. Тогда 1) уравнение (1.10) разрешимо в том и только в том случае, когда < £ / , / > = 0 для любого (еЛ * и удовлетворяющего сопря­

женному однородному уравнению

 

A * f = 0;

(1.14)

и

2) число линейно-независимых решений g уравнений (1.10)

(1.14) одинаково.

 

к

Любое фредгольмово уравнение может быть преобразовано

каноническому фредгольмову, поэтому

приведенная теорема

с соответствующими изменениями справедлива для произволь­ ных фредгольмовых уравнений. В связи с этим рассмотрим воз­ можности преобразования уравнения (1.10) к каноническому фредгольмову.

Определение 1.39. 1. Линейный ограниченный оператор S, действующий из С в банахово пространство F, называется ле­ вым эквивалентным регуляризатором для оператора А, если оператор 5Л — канонический Фредгольмов, D (S)z^R(A) и N (S) = 0 .

2. Ограниченный линейный оператор V, действующий из ба­ нахова пространства G в В, называется правым эквивалентным регуляризатором для оператора А, если оператор AV — кано­ нический фредгольмов и D(A)c^R(V).

Из этого определения следует, что в результате эквивалент­ ной регуляризации уравнение (1.10) с произвольным операто­ ром может быть преобразовано к эквивалентному каноничес­ кому фредгольмову уравнению. В частности, для фредгольмова оператора (1.13) оператор U является эквивалентным левым

иправым регуляризатором, если R(U) zdD(A) .

Взаключение данного параграфа рассмотрим понятие спек­

тра оператора, которое связано с разрешимостью уравнения

Ах—к х = (Л—Х1)х=у,

(1.15)

где к — некоторое произвольное число.

Определение 1.40. Число а называется регулярным значе­ нием оператора А, если уравнение (1.15) корректно и плотно разрешимо. Совокупность всех регулярных значений называется резольвентным множеством оператора А, а дополнение к нему на комплексной плоскости — спектром оператора А. Оператор

Rx(A) — {А — kl)~l, определенный для регулярных

а, называ­

ется резольвентой оператора А.

 

Пример 1.1. Интегральное уравнение

 

%x{t)+ JЬ K(t,x)x(x)dx=y{t)

(те)

а


ГЛАВА I

28 '

называется

интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Для всех

регулярных X решение уравнения

(1.16), если оно существует,

может быть

определено

при помощи резольвенты r(t, х,Х) ядра K(t,%) по

следующей

формуле [1.34]:

Jь r(t,x,X)y(x)dx].

 

 

=

(1.17)

' а

Спектр ограниченного оператора лежит в круге |Я|^||Л|| и всегда не пуст. Радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего спектр оператора А, называется спект­ ральным радиусом г (А) оператора А. Справедлива следующая формула [1.371:

г(Л) = Нт У1И||"^М||.

Если |Я|>г(Л), то резольвента представляется сходящимся по норме рядом

 

« 1(л , = - ф ( ; + ф л +

 

 

 

 

 

г

ь

ь

Пример 1.2.

Допустим, что в уравнении

(1.16) |Я|>

/ /

КЦ1, т)Х

 

 

 

*-п а

 

X dtdzJ

Тогда резольвента f(t, т, Я) представляет собой сильно сходящийся

¥

 

 

 

 

 

в L2[a, b) X (а, Ъ)]

ряд1 [1.34]

 

 

 

 

 

r(t, т Д )= X ( - а)-^КДТ т),

 

(1.18)

 

 

/=1

 

 

 

в котором итерированные ядра Kj{t*т ) определяются рекуррентными фор­ мулами

 

Kl(t,x)=K(t,x)

 

Kn+m(t,x)= Jъ Kn(t,&)Km(@,x)d@

(т, П= 1, 2, . . . ) .

 

а

 

 

Пример 1.3. Интегральным оператором Вольтерра называется оператор

Ax(t) = Jt

K(t,x)x(x)dx .

(1.19)

__________________ __________________________________

a

 

 

1 X x Y называется прямым произведением пространств X и Y и обозна­ чает совокупность всевозможных пар {х, у}, х<=Х, г/еУ.


29

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Если K(t, Т)

непрерывна в

треугольнике

то в пространстве

С(а,Ь) спектр оператора (1.19)

состоит из одной точки X=0.

Определение 1.41. Число X называется собственным значе­ нием оператора А, если однородное уравнение Ах = лх имеет при данном X нетривиальное (отличное от нуля) решение. Это ре­ шение называется собственным элементом оператора А, соот­ ветствующим собственному числу X.

Смысл собственных чисел и собственных элементов стано­ вится особенно ясным, если допустим, что оператор А явля­ ется самосопряженным в гильбертовом пространстве Н.

Определение 1.42. Нижней и верхней границами самосопря­ женного оператора А называются соответственно числа т —

= inf (Ах, х)

и M = sup(Ax, х).

11x11=1

||х!1 = 1

Самосопряженный оператор А называется положительным,

если m^sO,

и положительно определенным, если т > 0.

Для нормы самосопряженного оператора справедливо соот­ ношение \\А|= т а х { |от , |} =sup |(Ах, х) |.

||Х || = 1

Собственные числа самосопряженного оператора вещест­ венны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны. Если самосопря­ женный оператор вполне непрерывен, то его спектр состоит из собственных чисел и точки 0.

1.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ1

Допустим, что существование и единственность решения урав­ нения (1.10) установлены. После этого основной задачей явля­ ется приближенное в общем случае отыскание элемента х, удовлетворяющего рассматриваемому уравнению. Для этой цели конструируется алгоритм, позволяющий определять по­ следовательность {хп} а В приближенных решений таких, что

limxra = x. Фактически, мы можем найти лишь конечное число

П-^ОО

членов последовательности {х"}. Поэтому кроме исследования сходимости рассматриваемого алгоритма должна быть по­ строена также оценка погрешности ||хп —х||в, позволяющая определить степень близости приближенного решения к точному.

Затем необходимо исследовать устойчивость используемого алгоритма, т. е. влияние на него ошибок вычислений и погреш­ ностей задания оператора А и свободного члена у.

Сформулируем описанный процесс нахождения приближен­ ных решений. В настоящее время разработано большое число

1 Излагается по работам [1.2, 1.20, 1.25, 1.27, 1.37].