ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
Штриховая часть левой ветви кривой / характеризует параметры возбуждения, при которых резонансные стационарные колебания будут неустойчивыми.
Критерии |
неустойчивости при вязком |
трении. Подставляя вы |
|
ражения (1.243) и (1.250) |
в формулу. (1.248), получаем уравнение |
||
|
|
критического |
состояния при наличии |
^ |
/ |
вязкого трения |
|
] / " | п 2 — со2 + - | - j 2 + 4л2 соа
(1.265)
Поскольку (/г2— со2 + a/2)a +4rt2 coV= Ф 0, то, как видно из уравнения (1.265), кривая / критических состояний не пересекает горизонтальную ось (рис. 61).
Рис. 61. К построению графика |
Исследуем |
выражение |
(1.265) на |
|
критических состояний при вяз |
минимум. Дифференцируя его по со |
|||
ком трении. |
|
dF |
п |
|
|
|
|
||
|
и приравнивая |
= |
0, находим ко |
|
ординату минимального значения со0 = Vra/2 — п2. |
Подставляя |
|||
это выражение в формулу (1.265), получаем минимальное значе ние критической амплитуды возбуждения (см. рис. 61):
2|М
Заметим, что приближенное равенство (1.250) справедливо для случая отсутствия трения. Поэтому формулой (1.265) допустимо пользоваться для малых сопротивлений. При больших сопротивле ниях естественнее воспользоваться приближенным равенством п2 + + 92 (1 + 2В)2 = а/2. Подставляя это выражение, а также равен ство (1.243) в формулу (1.248), получаем следующее уравнение
критического состояния
F |
, со< / а |
(1.266) |
Перейдем к рассмотрению кривой / / графика критических со стояний. Как показано выше, кривая / / представляет собой геомет рическое место точек срыва колебаний. Эти точки, естественно, лежат на амплитудно-частотной характеристике для умеренных амплитуд, которая описывается уравнением (1.99), т. е.
f У{пг |
— со2 + 02 )2 + 4я2со2 = QF. |
(1.267) |
1 Ограничение со < У"а |
вытекает из сопоставления аналитических и машин |
|
ных решений (см. ниже).
82
Далее поступаем аналогично изложенному выше, а именно: принимаем линейное приближение для частоты свободных колеба ний и осредняем амплитудную функцию, т. е. 02 л? п2 + 02 => а; f да с = const. Подставляя эти приближения в равенство (1.267), получаем
F = -у=- У (а — со2)2 + 4/г2со2. |
(1.268) |
Постоянную с найдем из следующих соображений. Точка пере сечения кривой / / (рис. 61) с вертикальной осью F по-прежнему определяется координатами (1.260), так как при статическом воз действии (со = 0) сопротивления не оказывают влияния на переме щения. Поэтому, подставляя в равенство (1.268) граничные условия (1.260), находим
Теперь выражение (1.268) принимает вид
з |ТГ [ ( а — 0 ) 2 ) 2 + 4 " , ( D ' 1 ' |
( 1 , 2 6 9 ) |
Полученная формула описывает кривые / / критических состоя ний. Поскольку при ее выводе использовались выражения, справед ливые при малом трении, этому условию соответствует и формула (1.269).
Для больших сопротивлений лучше соответствует машинным ре шениям следующее выражение х :
F = X У ~зЩ1{а ~ 0)2)2 + 1 2 т о ° ^ ~Сй)2]- |
( 1 - 2 7 0 > |
Как видно из формулы (1.265), кривая / критических состояний |
|
(см. рис. 61) пересекает вертикальную ось в точке |
|
F> = (тг+п2)Уж > -fа У ШТ |
= Р ц - |
|
Подставляя значение со0 в формулу (1.269), имеем |
|
|
f — 4 - V r |
w [ - T - + ^ a - ^ ] - |
|
При условии Fml„ < Fa |
кривые I к II критических состояний |
|
имеют две точки пересечения и образуют область |
(на рис. 61 она |
|
заштрихована), характеризующую такие параметры возбуждения,
при которых устойчивость стационарных колебаний |
(аналогич |
но тому, как это было при п = 0 на рис. 59) зависит от |
начальных |
условий. |
|
Для оценки точности полученных результатов было проведено
исследование на ABM МН-7 устойчивости стационарных |
колебаний |
1 Эмпирические формулы, приведенные в этом параграфе, |
подобраны |
В. С. Горбатовым. |
|
6* |
83 |
системы с параметрами а = |
1 сект2 |
и | Р | = |
0,2 см.—2 • сект2 для раз |
||
личных |
значений я. Результаты |
исследования |
представлены на |
||
рис. 26 |
условными обозначениями. Здесь же показаны аналитичес |
||||
кие решения, полученные |
по формулам |
(1.265), |
(1.266), (1.269) |
||
Рис. |
62. Кривые |
критических |
Рис. 63. Кривые критических состояний |
|||||
состояний |
симметричных коле- |
при вязком трении в безразмерных коорди- |
||||||
баний |
при вязком |
трении: |
|
натах. |
||||
I |
— п |
= 0,05 |
сек—1: |
|
2 — л |
= |
|
|
= |
0,2 |
сек—1; |
3 - |
л = 0 , 3 |
сек~2: |
4— |
|
|
а |
- 0,5 сек-1: |
5 |
— л = 0 , 7 |
сек—1. |
|
|
||
и (1.270). Как видно, совпадение результатов оказывается удовле творительным.
Практически удобнее пользоваться графиками критических со стояний, представленными в безразмерных координатах:
В этом случае уравнения критического состояния (1.265), (1.266), (1.269) и (1.270) принимают следующий вид:
для кривых / при любых значениях п и со ;> у~~а
при больших значениях п и со < у~а
F* = К ( 1 - с о 2 ) 2 + 4«2со2; для кривых / / при малых значениях п
^ - 4 У х [ ( 1 - - Н ' + я И .
84
при больших значениях п
/ 7 * = 4 - / т - [ ( 1 - т - ( й ! ) 2 + 6 ^ ( 1 |
1 |
\ 2 |
У 2 * |
|
Построенные по этим формулам кривые критических состояний приведены на рис. 63.
Критерии неустойчивости при турбулентном сопротивлении.
Подставляя выражения (1.243) и (1.250) в (1.249), получаем уравне ние критического состояния при наличии турбулентного сопротив ления:
|
|
|
|
|
(1.272) |
а 2 |
( .4 ," , • я 2 — l) + — ? + 16 — а |
||||
/ . |
I я 2 1 Р I |
/ |
2 J т |
я 2 |
I P I |
Исследуем выражение (1.272) на минимум. Дифференцируя его |
|||||
по со и приравнивая |
= 0, находим координаты минимального |
||||
значения кривой / |
(см. рис. 61): |
|
|
|
|
|
|
|
|
I P I |
1 + Л 2 ' |
где |
|
|
|
|
|
|
|
2 / а |
|
(1.273) |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
я / | |
Р | |
|
|
Полагая в формуле (1.272) со = 0, получаем Fj — а/2 У а/\ В |. Перейдем к рассмотрению кривой ТУ критических состояний.
Используем уравнение (1.149) для амплитудно-частотной характе ристики при умеренных амплитудах, которую запишем так:
Принимая линейное приближение для частоты свободных коле баний (Э да "j/a) и оередняя амплитудную функцию (/ да с), имеем
2 + 16 |
со* = F у а. (1.274) |
Постоянная с, найденная с использованием начальных условий (1.260), оказалась такой же, как и для случая вязкого трения. Под ставляя значение с в равенство (1.274), получаем уравнение критиче ских состояний в виде
+ 1 6 — 5 - СО |
(1.275) |
Этим уравнением неудобно пользоваться, так как оно включает в се бя амплитуду колебаний А. Вычисления показывают, что уравнение
85
(1.275) хорошо аппроксимируется |
выражением |
|
|
|
276) |
На рис. 64 представлено сопоставление аналитических |
данных |
|
(кривые /—3) с полученными на ABM МИ-7 для системы с парамет- |
||
6" |
п-LO- |
1 |
|
0.6- |
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
г |
////// |
|
|
Z сз.сат' |
№ |
|
|
|
|
|
|
Рис. 64. Кривые критических со- |
Рис. 65. |
Кривые критических состояний при |
||
стояний симметричных колебаний |
турбулентном сопротивлении в безразмерных |
|||
при турбулентном сопротивлении: |
координатах. |
|||
/ |
л = 0 , 0 5 см~2—л=0,2 |
см~ |
|
|
3 |
— л •= 0,4 см~ |
|
|
|
рами а = 1 сект-1 |
и | В | = |
0,2 смг2 |
• сек - 2 при различных значе |
|
ниях л. Как видно из рис. 64, совпадение результатов можно при
знать удовлетворительным.
Практически удобнее пользоваться графиками критических со стояний, представленными в безразмерных координатах (1.271), за исключением безразмерного параметра сопротивления, который следует определять по формуле (1.273). В этом случае уравнения критического состояния (1.272) и (1.276) принимают следующий вид:
для кривых /
для кривых / /
со2 ^
86