Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Порядок вычисления по формулам (1.237) и (1.238) такой же, как для (1.233) — (1.235).

Сопоставляя кривые на рис. 7, 29, 56, устанавливаем, что, в от­ личие от системы с кубической нелинейностью, амплитуды суб- и ультрагармонических колебаний в системах с перескоком могут иметь тот же порядок, что и гар­ монические колебания с часто­ той возмущения со. Заметим, что

Возвратимся к рис. 30 и попытаемся объяснить расхождение меж­ ду аналитическим и машинным решениями, влиянием субгармони­ ческих колебаний. Для этого рассмотрим рис. 57, где сплошной линией изображена характеристика суммы амплитуд .колебаний с частотами со и (со — 20). Как видим, эта характеристика лучше со­ ответствует машинному решению, представленному точками, чем амплитудно-частотная характеристика колебаний с частотой со, ко­ торая изображена штриховой линией.

(1.239) Отсюда видно, что полученные выше результаты соответствуют ис­ пользованию двух членов ряда (1.239). Если воспользоваться тремя членами разложения, то уравнение (1.228) примет вид

2 " (е ) -J. z (е ) = .|_Cos со* [1 — 2В cos 20* + (2В cos 20/)2] =

73

Используя формулы (1.236) и (1.238), при наличии вязкого тре­ ния совершенно аналогично получаем следующие выражения амп­

Эти формулы по сравнению с (1.236) и (1.238) имеют значительно

последующий члены, можно обнаружить колебания с частотами | со ±

± 601; | со ± 801; \ со ± 100 |; .... Амплитуды этих колебаний опре­ деляются аналогично изложенному. Очевидно, что по мере возра­ стания порядка колебаний значения амплитуд будут уменьшаться.

Как видно из выражения (1.240), учет суб- и ультрагармониче­ ских колебаний с частотами | со ± 401 приводит к корректировке колебаний с частотой со на коэффициент (1 + 2В2 ).

74

Поэтому в формулах для амплитудно-частотных характеристик, приведенных выше, следует вместо F подставлять F (1 + 2В2). Вычисления показывают, что эта корректировка для уравнения Дуффинга практически никакого значения не имеет. Однако для систем с перескоком корректировка оказывает заметное влияние на большие колебания и несущественна для малых колебаний. В ка­

точками и кружками представлены результаты решения задачи на ABM МН-7. Для больших колебаний наблюдается заметное несовпа­ дение машинных и аналитических данных, полученных по формулам

§ 6. Устойчивость симметричных колебаний

Как известно [2, 3, 21, 24, 35, 36], стационарные коле­ бания нелинейных систем не всегда устойчивы. Понятие устойчи­ вости колебаний поясним на элементарном примере маятника (см. рис. 1). Пока амплитуда колебаний маятника меньше 180°.

75

колебания будут устойчивыми. Однако, как только амплитуда'; до­ стигнет 180°, колебательное движение перейдет во вращение вокруг точки подвеса. Как видно из рис. 2, а, в этом случае амплитуда-до­ стигает значения ненулевого корня характеристики, превышение которого меняет знак восстанавливающей силы, т. е. превращает ее в толкающую силу, приводящую к апериодическому движению, именуемому иногда в литературе [22,48] вращательным режимом. Этот термин связан с устойчивостью колебаний маятника. Таким образом, используемое здесь понятие устойчивости колебаний сле­ дует понимать как сохранение колебаний (орбитальная устойчи­ вость), а понятие критического состояния — как границу между ко­ лебательным и вращательным режимами.

С позиций качественной теории колебательному режиму (устой­ чивость) соответствуют фазовые траектории, заключенные внутри петли сепаратрисы, вращательному (апериодическому) режиму (не­ устойчивость) соответствуют на фазовой плоскости траектории, лежащие вне сепаратрисы [22, 48]. Переход колебательного движе­ ния в апериодическое иногда называют неустойчивостью «в малом» [41 ]. В нелинейных системах может иметь место также неустой­ чивость «в большом». Это касается систем с перескоком, в которых, как показано выше, большие колебания относительно неустойчи­ вости положения равновесия могут смениться малыми колебаниями относительно одного из двух положений устойчивого равновесия. Условия перехода одних колебаний в другие в системах с переско­ ком легко определяются из анализа амплитудно-частотной характе­ ристики. Поэтому вопрос устойчивости в большом можно считать решенным. Определить'условия перехода колебательного движения в апериодическое для устойчивости в малом из анализа амплитудночастотных характеристик не представляется возможным. Необходи­ мы специальные исследования, которые и составляют содержание настоящего параграфа.

Колебания, близкие к неустойчивости. Полученные выше резуль­ таты справедливы для стационарных колебательных процессов, далеких от неустойчивости. Поэтому для установления критериев неустойчивости необходимо откорректировать полученные выше ре­ зультаты таким образом, чтобы ими можно было пользоваться для колебаний, близких к неустойчивости.

Найдем корни характеристики уравнения (1.192):

(1.241)

Отсюда видно, что ненулевые корни будут действительными только для мягких характеристик (0 > В = — |В|):

(1.242) Если амплитуда колебаний достигнет значения (1.242), т. е. станет

(1.243)

76

вблизи от состояния неустойчивости будет медленно изменяющейся.

Частное решение уравнения (1.246), определяющее стационарные колебания, может быть получено аналогично (1.18), т. е.

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.3) и (1.245), находим приближенное решение для стационарных колебаний вблизи от состояния неустойчивости при отсутствии тре­ ния:

Полагая x = A и cos со/ = ± 1 и принимая во внимание формулу

Из приведенных соображений следует, что полученные ранее результаты можно использовать также для колебаний вблизи от неустойчивости, если заменить в полученных ранее формулах 0 на 9 (1 + 2В). В частности, используя формулы (1.32) и (L99), получаем выражение для амплитудно-частотной кривой мягкой си­ стемы с кубической характеристикой при наличии вязкого трения:

77