ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 0
Построенные по этим формулам кривые критических состояний при ведены на рис. 65. Порядок пользования графиками такой же, как и для случая вязкого трения (см. рис. 63). Необходимо отметить, что выполненные в этом параграфе исследования устойчивости стационарных колебаний уравнения Дуффинга тривиально обоб щаются на случай любой мягкой системы путем замены истинной характеристики кубической. Параметры а и В определяются из условий равенства характеристик и их первых производных для ненулевого корня истинной характеристики.
§ 7. Несимметричное возбуждение
Рассмотрим часто встречающийся в приложениях слу чай несимметричного возбуждения, когда возмущение имеет постоян ную составляющую, т. е. F (f) = F0 + F cos at.
Одно из принципиальных различий линейных и нелинейных систем состоит в том, что загружение линейной системы постоянной силой не влияет на частоту свободных колебаний, а загружение не-
Рис. 66. Определение частоты свободных колебаний загруженных систем:
а — линейная система: б — нелинейная система.
линейной системы может существенно изменить частоту свободных колебаний (рис. 66). Как известно, частота малых колебаний опре деляется квадратным корнем из тангенса угла наклона касательной к характеристике в нулевой точке. Поэтому для линейной системы 0Х = у tg г|) = 02 , а для нелинейной 0, = ] A g ^ i ф V^tg tpa = 02 .
Таким образом, загружение нелинейной симметричной системы постоянной силой переводит ее в несимметричную систему. Следо вательно, несимметричное возбуждение симметричной системы экви валентно симметричному возбуждению (F = cos at) несимметрич ной системы.
Как видно из предыдущего, для построения амплитудно-частот ных характеристик необходимо знание частот свободных колебаний.
87
Частоты свободных колебаний загруженных систем. Определим частоту свободных колебаний нелинейной системы, описываемых уравнением
|
x+R(x) |
|
= F0, |
R (х) = |
S0 + |
ax + ух2 + бх3 . |
(1.277) |
|||||||
Подставляя в это уравнение замену |
(1.52), т. е. |
|
|
|
||||||||||
получаем |
|
|
х = у — х0, |
х0 |
= |
const, |
|
|
(1.278) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у + (а - |
2ух0+ |
3*§Р) у + (у- |
ЗрХ) у2 |
+ рУ = F0 |
+ ах0 |
- ух* + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ Р * § - 6 0 . |
|
|
|
|
А-279) |
|||
Если принять |
зависимость (1.53) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
А-О = ^ Г . |
|
|
|
|
(1-280) |
|||
то уравнение (1.277) |
преобразуется |
к |
виду |
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
# + °У/ + рУ = |
6„ |
|
|
(1.281) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а * = а ~ |
ж |
; |
8*=F°-8°+w(a~~9~)- |
|
|
|
( L 2 8 2 ) |
||||||
Если |
принять |
|
зависимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F 0 |
+ |
a r 0 - Y * g + |
p*g--60 = 0, |
|
(1.283) |
|||||||
то уравнение (1.277) преобразуется |
к виду |
|
|
|
||||||||||
Здесь |
|
|
У* + <У* + Ч*У1 + Ш = |
0. |
|
(1.284) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а: = |
а - 2 у * 0 |
+ |
3*2р\- |
y* = y-2>$xQ, |
(1.285) |
||||||||
где х0 — корни уравнения (1.283). Подстановка |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
*о = *о + ^ Г |
|
|
|
|
< L 2 8 6 ) |
||||
приводит уравнение (1.283) к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
«)3 |
+ - ^ 4 + -j- = °- |
|
|
a - 2 8 7 ) |
|||||||
В соответствии с зависимостью между |
корнями |
алгебраических |
||||||||||||
уравнений и их коэффициентами |
корни |
уравнения (1.287) будут |
||||||||||||
равны по величине и противоположны по |
знаку |
корням |
характе |
|||||||||||
ристики |
уравнения |
(1.281). Анализ |
характеристики |
уравнения |
||||||||||
(1.281) приводит к следующим |
результатам. |
|
|
|
||||||||||
При условиях 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 Вторые условия получены ранее [13] и приведены в § 1 данной главы.
88
имеет место один вещественный корень и, следовательно, характе ристика является жесткой (см. рис. 9, а).
При условиях
- ? - + w = 0 |
и л и с с : > 0 - Р > 0 ' 4 « # = tf < 1 2 8 9 ) |
имеют место два вещественных корня и, следовательно, характери стика является полужесткой (см. рис. 9, б).
При условии
имеют место три вещественных корня. Характеристика будет мягкой (см. рис. 9, в), если а* > 0 и р < 0, т. е. когда наибольший и наи меньший ненулевые корни имеют разные знаки, или полумягкой
(система с перескоком, см. рис. 9, г), если а* > О, В > |
0, 4а*В |
< |
|||||
< |
у2, Т. е. когда максимальный и минимальный корни имеют оди |
||||||
наковые знаки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из проведенного анализа вытекает, что в равенства (1.285) под |
||||||
ставляется только тот корень уравнения (1.287), для которого |
>• |
||||||
> |
0. Заметим, что для частного |
случая |
симметричных |
систем, т. е. |
|||
когда 8„ = 0 и у = 0 или у^. = |
0 имеют место равенства |
|
|
||||
|
а; = |
= |
а; |
6* = |
^ . |
(1.291) |
|
|
Установим зависимость |
между |
параметрами уравнений (1.281) |
||||
и (1.284). Из сопоставления выражений (1.277) и (1.283) по формулам (1.278), (1.280) и (1.282) получаем
v* = y—w> |
a * = « : - | r ; 8* = / ? о + ж ( а * |
~ " Ж " ) |
|
|
(1.292) |
Выше (см. § 1) приведены формулы (1.60) и (1.61) для определе |
||
ния частот свободных колебаний в случае а„. > 0. |
|
|
В литературе [40] для уравнения (1.284) приводится |
следующая |
|
приближенная формула для определения частоты свободных коле
баний |
в случае а* > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 = "|/с? |
i + 1-JL. |
! ! ^ _ ) л 2 |
(1.293) |
|
|
|
1 8а |
12(a) 2 |
' |
|
где Ах |
= у% (0) — максимальная амплитуда |
колебаний, |
связанная |
||
с амплитудой А — у (0) зависимостью, вытекающей из первой фор мулы (1.292),
Л 1 = л - Ж * |
( L 2 9 4 ) |
Для сопоставления точности формул (1.60) и (1.293) и определе ния пределов их применения необходимо иметь точную формулу.
89
Ее нетрудно получить |
путем |
тривиального |
обобщения 1 результа |
||||
тов, полученных в работе [1]. |
|
|
|
||||
Вид формулы существенно зависит от характера корней уравне |
|||||||
ния |
|
|
|
|
|
|
|
Q (х) = о] (Л2 - |
х*) + |
4 " Y* (А\ - х3) + 4 - В (At ~ *) = 0. (1.295) |
|||||
Это уравнение можно представить так: |
|
|
|
||||
|
(А1-х)\аГ(А1 |
+ х)+ *yt(A*l |
+ A1x + x*) + |
||||
|
|
+ ±-$(А1 |
+ х){А\ + х*) |
• 0. |
|||
Отсюда видно, что один корень равен х = Av |
а |
три других опреде |
|||||
ляются из |
кубического |
уравнения |
|
|
|
||
(А + |
х) [а: + |
- L p (Л? + |
* 2 )] + |
у, (Л? + |
Ахх + х2) = 0. |
||
Это уравнение, подобно (1.283), легко привести к виду (1.287) и ре
шить по формуле |
Кардана |
или в тригонометрическом |
виде. |
|||||||||
В случае выполнения неравенств |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Р < 0 ; |
Q[ |
|
|
J - |
^ - J < 0 |
|
|
|||
или р > |
0 и у2 — 4 а*р > |
0 все корни уравнения (1.295) веществен |
||||||||||
ны, причем хх |
<z 0 <; х2 |
< |
х3 <z х4 , а частота свободных колебаний |
|||||||||
определяется |
по |
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
й ' _ |
пУ- . |
|
|
иг _ |
(*1 —хг) (хз — *4> . |
|
|
|||
|
|
|
K(k) |
' |
|
* |
|
(*.-*4) |
' |
|
(1.296) |
|
|
|
|
•* = |
|
|
(*4 |
~ х*>(*3 |
~ XJ- |
|
|
|
|
При выполнении условий р > |
0; у2 ,— 4а*р <С 0 два корня урав |
|||||||||||
нения (1.295) |
вещественны, |
два |
корня |
комплексны (хг < |
0 < ; хг; |
|||||||
ХЗА = R ± |
f's)> а частота свободных колебаний определяется по фор |
|||||||||||
мулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь~ЖЩ~' |
|
|
К " Г ^ 1 Р 1 « * |
|
|
47? |
|
' |
(1-297) |
|||
|
|
Р1 |
= ( r - ^ 2 |
+ s2; £ 7 2 = ( r - x 1 ) 2 |
+ s2. |
|
|
|||||
В формулах (1.296) и (1.297) через К (к) обозначен полный |
эллипти |
|||||||||||
ческий интеграл первого рода. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычисление частоты |
несколько |
упрощается, |
если |
исходить не |
||||||||
из уравнения (1.284), а из уравнения (1.281). Тогда уравнение (1.295)
1 В работе 11] приведено решение уравнений (1.284) при начальных условиях у, (0) = 0 и у\ (0) Ф 0.
90
приводится к виду |
|
|
|
|
Q (х) = |
26* {А~х) |
+ а , (А2 - х2) + i - |
Р И« - |
х») == 0. |
Это уравнение можно представить так: |
|
|
||
(А-х) |
28^ + ajA |
+ x) + Jr$(A+x)(A2 |
+ |
x2)}=0. |
Отсюда видно, что один корень равен х = А, а три других определя ются из кубического уравнения
28* + к + 4 - Р Ч Л 2 + x2)YA + *> = °'
которое решается по формуле Кардана или в тригонометрическом виде.
Пример. Определим частоту свободных колебаний, описываемых уравнением
|
|
|
|
Д: + |
А: + |
0,15ЛГ2— 0,2Л:3 |
-0,5. |
|
|
(1.298) |
|||||
По формулам (1.278), (1.280) и |
(1.282) |
вычисляем х0 |
= — 0,25; |
у = х — 0,25; |
|||||||||||
сх„= 1,0375; б* = |
—0,756. Теперь уравнение (1.298) можно привести к виду (1.281): |
||||||||||||||
у + |
1,0375(/ —0,2у3 |
= • |
-0,756. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.299) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корни |
|
характеристики |
|
уравнения |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
(1.299) будут ух= |
— 1.74; |
у2=- |
|
0,84; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
у3 = 2,58. Следовательно, |
корни |
урав |
-2 |
\ - / |
0 |
1 |
2 |
\x.ff.B* |
|||||||
нения (1.287) (xj)i = 1,74; (х'0)г |
= |
0,84; |
|||||||||||||
0*0)3= |
— 2,58. |
Далее, |
по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1.286) вычисляем (д:0)1 |
= |
1,49; (х0)2 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 0,59; ( х 0 ) 3 = —2,83. Подставляя эти |
|
|
|
-2 |
|
|
|
||||||||
значения |
в первую формулу |
(1.285), |
^ и с - |
|
Несимметричная |
характерис |
|||||||||
находим (и ^ = |
— 1,77; (а*) |
|
0 616" |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
тика. |
|
|
|
|
|
|
(а*)3 = |
- |
3*,95. |
Как |
видим, |
только |
|
|
|
|
|
|
|
|||
один (второй) корень удовлетворяет условию а |
> 0. |
Подставляя его во вторую |
|||||||||||||
формулу (1.285), вычисляем yt |
= 0,5. |
Теперь |
уравнение |
(1.299) |
может быть |
||||||||||
преобразовано к виду (1.284): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
у, |
+ |
0,615у, + 0,5у2 - |
0,2у1 = |
0. |
|
|
( 1 .зоо) |
||||
Причем, в соответствии с первой формулой (1.292), имеем |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
//. = (/ + 0,84. |
|
|
|
|
(1.301) |
||
Характеристика уравнений (1.298), (1.299) и (1.300) представлена на рис. 67.
Результаты подсчетов частоты свободных колебаний приведены в табл. 1. Точное значение частоты 0Т рассчитано по формуле (1.296). Зона, в пределах которой справедлива эта формула, на рис. 67 обозначена т. Приближенные значения частот, найденные по фор мулам (1.60) и (1.293), обозначены соответственно через 0Х и 02 .
91