Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Используя формулы (1.32) и (1.139), совершенно аналогично полу­ чаем амплитудно-частотную характеристику при турбулентном сопротивлении

В (1.247) — (1.249) 9 и В определяются по формулам (1.209) и (1.212). Следует заметить, что полученные выражения легко обобщают­ ся на случай любой мягкой системы, если заменить левые части фор­

мул (1.247) — (1.249) соответствующим значением амплитудной функции / (А) и пользоваться точным значением 9.

Критерии неустойчивости систем без трения. В критическом со­ стоянии, когда амплитуда стационарных колебаний . определяется выражением (1.243), по формулам (1.212) и (1.244) находим

(1.250)

Подставляя выражения (1.243) и (1.250) в равенство (1.247), прихо­ дим к уравнению критического состояния

Попытаемся оценить точность этой приближенной формулы. Для этого рассмотрим стационарные колебания, описываемые урав­

Подставляя решение (1.253) в уравнение (1.252) и группируя члены, имеем А [—со2 (k2 — 2k2 sn2 и + 1) + а — ] f\\ А2 sn2 и — F/A} sn и = 0. Приравнивая нулю квадратную скобку и группируя члены, по­ лучаем (2k2a2 — ВЛ2) sn2 и + (a— a2k2 — со2 — F/A) = 0. Это уравнение удовлетворяется при условиях 2&2со2 — ВЛ2 = 0; а —

— со2 (1 + k2) — F/A = 0, откуда находим 1

А = « - ( i + » ) a , * = ( ] - 2 5 4 > Подставляя формулы (1.254) в равенство (1.253), приходим к

78

Подставляя сюда формулу (1.243), приходим к тому же уравнению (1.251) критического состояния.

Итак, уравнение (1.251), будучи приближенным для тригономет­ рического возбуждения, оказалось точным для эллиптического воз­ буждения. Поскольку эллиптические функции разлагаются в быстросходящиеся тригонометрические ряды [23, 28, 55], точность формулы (1.251)

оказывается удовлетворительной. Этот вывод подтверждается решениями на ABM МН-7.

этом же рисунке построена на основании следующих соображений. Как известно [7, 35, 36, 47, 57, 62], в нелинейных системах возможно

79

характеристике становится вертикальной. Следовательно, Для1 'оп­ ределения условий перескока колебаний необходимо продифферен­

Поскольку точки срыва колебаний находятся вдали от критической амплитуды колебаний, то можно воспользоваться уравнением ам­ плитудно-частотной характеристики в виде (1.23), т. е.

вой / / критического состояния в параметрической форме. Вычисле­ ния по ним производятся в следующем порядке. Для мягкой систе­ мы с заданными параметрами задаются амплитудой Л и, вычисляют / (Л), 8 (Л), f (А) и 9' (Л). Затем решают систему уравнений (1.255) и (1.256) и находят со и F. Если эти величины вещественны и поло­ жительны, то на графике наносится точка с координатами со и F. Следует заметить, что эти вычисления весьма громоздки. Оказывает­ ся, что результаты могут быть аппроксимированы простым выраже­ нием |

Это выражение получено из следующих соображений. Принимаем линейное приближение для частоты свободных колебаний 92 = а. Тогда£0' = 0 и уравнение (1.256) принимает вид f (a — со'2) = 0. Поскольку a —1 со2 Ф 0, то f = 0. Отсюда f = с = const, т. е. ли­ нейное приближение для частоты влечет за собой осреднение ампли­ тудной функции. Теперь уравнение (1.255) принимает вид

Используя эти граничные условия, находим

—§-«Vw- . (L260)

Подставляя выражение (1.260) в (1.258), получаем уравнение (1.257). На рис. 59 кривая / / построена по формуле (1.258) для тех же параметров, что и кривая /. Точками и кружками показаны

1 Штрихами обозначены производные по А.

80

зуют параметры гармонического возбуждения, которые обусловли­ вают неустойчивость стационарных колебаний при любых началь­ ных условиях. Заштрихованная зона характеризует параметры возбуждения, обусловливающие неустойчивость стационарных ко­ лебаний для начальных условий, при которых реализуются резо­ нансные колебания, и устойчивость их для начальных условий, при

2 Следует иметь в виду, что погрешность вычислений на АВМ МН-7 может достигать 10—15%. Причем особенность решения задач устойчивости на АВМ МН-7 состоит в том, что результат для кривой / всегда занижен.