Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

(1.223) и (1.226) — для полумягких характеристик (см. рис. 9, г). Входящие в указанные формулы значения частоты свободных коле­ баний и модуля полного эллиптического интеграла следует опреде­ лять по приведенным выше точным формулам в зависимости от ха­ рактера корней уравнения (1.295).

Перейдем к изучению стационарных колебаний с частотой, от­ личной от частоты возбуждения со. Как было показано, несимметрич­ ное возбуждение эквивалентно симметричному возбуждению несим­ метричной системы, что дает право воспользоваться полученными вы­ ше результатами.

Сначала рассмотрим случай, когда отсутствует трение. Путем замен (1.3) аналогично (1.12) приведем уравнение (1.54) к виду

Используя приближенное равенство (1.15), запишем это уравнение в виде

г" (е) + г (е) = 4 " \б* + F cos - j j - s — 256,, cos 2e —

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично приведен­ ному выше (см. § 5), имеет вид

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с форму­ лами (1.3), (1.15) и (1.32), находим решение для стационарных

Сопоставляя решения (1.231) и (1.319), устанавливаем, что в не­ симметричных системах при несимметричном возбуждении возника­ ют суб- и ультрагармонические колебания такие же, как и в сим­ метричных системах. Следовательно, для определения амплитуд этих колебаний можно полностью воспользоваться результатами § 5 на­ стоящей главы, только 0 и В следует определять по формулам данного параграфа. Наличие несимметрии приводит к появлению ко­ лебаний с частотой 20, амплитуды которых, как видно из формулы (1.319), определяются уравнением

Входящие сюда величины 0 и В определяются по приведенным в данном параграфе формулам в зависимости от амплитуды колеба­ ний с частотой со возбуждения. Обобщая эти результаты на случай колебаний при наличии вязкого трения, для решения уравнения (1.107) получаем выражение

У | / « * + 4 " № = -|р + a cos (at — р) + ас cos [(со — 20) t — рс ] —

— а у cos [(со -+- 20) г? —Р у ] + а2о cos (20с" — р2е),

где амплитуды колебаний и сдвиги фаз определяются по формулам, приведенным в § 5 данной главы. Кроме того,

Сопоставляя полученные данные с результатами § 5 данной главы, видим, что в несимметричных системах при вязком тре­ нии возникают суб- и ультрагармонические колебания, амплитуды которых можно определять по формулам § 5. Кроме того, возникают колебания с частотой 20, амплитуды которых определяются из приближенного уравнения, полученного аналогично (1.321):

Полагая в формуле (1.322) п = 0, как и следовало ожидать, при­ ходим к выражению (1.321).

100

В случае несимметричного возбуждения симметричных систем в приведенных выше формулах следует использовать равенства (1.291).

Более подробно1 рассмотрим стационарные колебания при турбу­ лентном сопротивлении. Используя замены (1.3) и формулы (1.133)

— 2BF0 cos 26i! — BF [cos (ю — 26) t + cos (со + 26) *]}.

Используя приближенное равенство (1.15), запишем это урав­ нение в виде

—c o s ( 4 — 2 ) е - b c o s ( - r + 2 ) e }•

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично из­ ложенному выше (см. § 3, 5, 7), имеет вид

1 В § 5 влияние сопротивления не рассматривалось.

101

то аналогично изложенному выше (см. § 5) можно обнаружить коле­

чай отсутствия трения, т. е. когда колебания описываются уравне­ нием (1.54), где параметры и \ определяются по формуле (1.282).

Как следует из изложенного в § 5, неустойчивыми могут быть только колебания в мягких системах (р < 0), характеристика кото­ рых имеет ненулевые корни (см. рис. 9, е). Используя выражения (1.32) и (1.58) и заменяя 0 на 0 (1 + 2В), аналогично (L247) получа-

102