ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
0(1 + 2B)F |
|
|
6 (1 + 2В) ^ |
' |
Л2 Я2 д |
] / [ с о 2 ( ~ - л - 1 ) + 8* (1 + 2Bf |
+ 16 |
— ш4 |
Подставляя сюда приближенное выражение (1.326), получаем урав нение критических состояний (кривая /)
+ 1 6 |
(1.342) |
В эту формулу подставляется то значение (1.328) критической ам плитуды Л к р , которое дает наименьшее абсолютное значение F.
Параметрические уравнения геометрического места точек срыва колебаний (кривая // ) весьма громоздки и неудобны для использо вания, так как они содержат амплитуду колебаний. Вычисления по казывают, что хорошее совпадение результатов дает простое вы ражение 1
|
F |
= |
|
|
+ 8^ У |
( о ; - со2)2 + 6Д, (У< - ш)3> |
(1.343) |
где Ал |
абсолютная величина минимума характеристики |
системы, |
|
3|PI Imin"
На рис. 73 изображены построенные по формулам (1.342) и (1.343) кривые критических состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 71, при различных значениях п. Дискретными ус ловными обозначениями представлены результаты решения на ABM МН-7. Как видно, совпадение результатов удовлетворитель но. Порядок пользования графиками такой же, как и для сим метричных систем.
1 Эмпирические формулы, приведенные в этом параграфе, подобраны В. С. Гор батовым.
Г Л А В А I I
БИГАРМОНИЧЕСКОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
§ 1. Симметричное |
возбуждение |
|
|
систем без трения |
|
|
|
Будем рассматривать |
(§ 1,2) |
возмущение в виде двух |
|
гармоник: F (t) = Fx cos coji + ^2 c o s |
F (0 = |
^1 s ' n W J + |
|
-f- F2 sin co2*. Как известно, эти |
функции |
будут |
периодическими |
только в случае кратности частот, т. е. со2 = р.©!, ц = 0, 1,2,3, ...
Так как только при периодическом возбуждении возможно появле ние стационарных колебаний, то в дальнейшем будем рассматривать случай кратности частот, т. е.
F (t) = Fx cos со* + F2 cos LICO*; |
F (t) = ^ s i n at + |
F2 sin p,co*. (II. 1) |
||||||||||||
Частота со называется основной (низшей) частотой возмущающей |
||||||||||||||
силы F (t). При р, = 0 первая формула (11-1) дает |
несимметричное |
|||||||||||||
гармоническое возбуждение (см. § 7 гл. I), вторая формула |
( I I . 1) — |
|||||||||||||
гармоническое возбуждение |
(см. § 1—6 гл. I). При |
L I = |
|
1 формулы |
||||||||||
( I I . 1) описывают |
гармоническое |
возбуждение |
с частотой |
со и ам |
||||||||||
плитудой Fx -f- F2. |
Несмотря на аналогичность |
выражений |
(II.1), |
|||||||||||
описание |
стационарных колебаний |
|
для них |
несколько |
различно. |
|||||||||
Поэтому |
будем |
рассматривать их раздельно |
и |
именовать |
соответ |
|||||||||
ственно |
четным |
(косинусоидальное) |
и нечетным (синусоидальное) |
|||||||||||
возбуждениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Четное возбуждение. Рассмотрим |
[34] стационарные |
вынужден |
||||||||||||
ные колебания |
нелинейной системы, описываемые уравнением |
|||||||||||||
|
|
x(t) |
+ R(x) |
= F x |
cos со* + F2 cos LICO*. |
|
|
|
(II.2) |
|||||
Используя замены |
(1.3), преобразуем нелинейное уравнение |
(П.2) |
||||||||||||
к линейному, аналогичному (1.12), т. е. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
г" (е) + |
г (е) = —^— (F± |
cos со* + F2 cos ixco*). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ф(9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линеаризуя |
фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13) |
|||||||||||||
и используя |
зависимости (1.14) и (1.15), получаем |
|
|
|
|
|||||||||
|
г" (е) + г(е) = -L |
(F± cos |
|
е + F2 cos ц -f- е). |
|
|
(П.З) |
|||||||
109
Счационарные колебания определяются частными решениями уравнения (П.З), которые будем искать в виде
zl = Cj cos -5р е; г2 = С2 cos ц -2- е. (II.4)
Подставляя эти выражения в уравнение (П.З) и приравнивая к нулю
коэффициенты |
|
|
при косинусах |
одинаковых |
аргументов, получаем |
||||||||
|
Г |
|
— |
F ' |
- |
г |
|
— |
F" |
|
|
||
Поскольку |
|
уравнение (П.З) линейное, |
суммируя частные реше |
||||||||||
ния (II.4), |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Q |
г |
/ |
m |
F, |
а> |
. |
|
F„ |
., |
cos L I -jT- e |
|
2 = |
0 |
|
|
,v2 |
cos -к- е |
|
— W l — " . , |
||||||
|
|
|
|
у 9* — со2 |
8 |
|
1 |
S2 — ц-ш-5 |
f |
Э |
|||
Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами
(1.3) и (1.13), |
находим |
решение для |
стационарных |
колебаний х : |
|||||
/ (*) = 9 ( 62 F_l c o s a t |
+ |
е2 - |
^со- |
c |
o s ^ ю / ) • |
( I L 5 ) |
|||
Исследуем |
решение (П.5) на экстремум в интервале изменения |
||||||||
времени /: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jT<£t<jT |
+ Z-, |
|
j = |
0, |
1, 2, 3, . . . . |
(II.6) |
|||
где Т — основной период возмущения, Т — |
|
Для этого продиф |
|||||||
ференцируем -выражение |
(II.5) |
по времени |
и приравняем к нулю: |
||||||
/ (*) = |
— 9 ( " ё ^ г sin at + |
g |
, ^ |
, |
sin |
= 0. |
|||
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 1 |
|
92 |
— L I 2 C O 2 |
0 |
|
|
Т Т |
|
|
"77 |
= Vo; |
е 2 - с о 2 |
= Q > |
|
( I L 7 > |
|||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"й0 |
sinco* + |
sinixco* = 0. |
|
(П.8) |
||||
|
М- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ивестно, что sin ц.со* при целочисленных значениях LI можно раз ложить по степеням основной гармоники sin at по формуле
sin pep = р cosP_lcpsin cp — Cp cos^cp • sin3 cp -f- Csp соэр _ 5 ф sin5 cp — - • •
(II.9)
Тогда, введя обозначение
* < 0 - - S £ - . |
(11-Ю) |
1 Предполагается, что свободные колебания с частотой 9 затухли.
110
запишем уравнение (II.8) так:
^+ /e(/)lsinco/ = 0.
Отсюда получагм два уравнения для критических значений аргу мента со t:
|
|
|
|
|
|
sinco^ = |
0; |
YoQ +1 - ^(0 |
= |
0. |
(11.11) |
|||
|
Из первого |
уравнения (11.11) найдем |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t = |
]T |
= / - ^ , |
/ = |
0, |
1, |
2, 3, . . . |
(11.12) |
|||
Следовательно, |
|
cos |
со/Т = |
cos2/n = |
± 1 ; |
cos\xajT = |
cos2/fin = |
|||||||
= |
± 1 , /; (-i = 0, |
1, 2, 3, ... Здесь знак «плюс» будет иметь место при |
||||||||||||
четном /, |
а «минус» — при |
нечетных / |
и }ц. |
Легко видеть, что оба |
||||||||||
эти случая 1 |
соответствуют |
максимальному |
абсолютному |
значению |
||||||||||
выражения |
(II.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
Поскольку |
для |
монотонной |
амплитудной |
функции |
/ (х)г а а х = |
||||||||
/ (А), |
то |
для |
амплитудно-частотной |
характеристики |
получаем |
|||||||||
выражение
/ И ) ° е ( - ^ А 5 Г + ) = ^ ^ ( 1 + ^ г ) . (11.13)
Здесь использованы обозначения (П.7).
Для доказательства того, что при значениях времени (11.12) амплитудная функция действительно достигает наибольшего значе ния, необходимо рассмотреть второе уравнение (11.11). Проделаем
это для частных случаев р, = 2 и р, = |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В случае р, = 2 формулы (П.9) и (11.10) принимают вид: sin 2ср = |
||||||||||||||||||
= 2 sin ф cos ф; k |
{t) — 2 cos |
at. |
|
Тогда |
второе |
уравнение |
(11.11) |
|||||||||||
можно |
записать |
так: |
Y0 Q + |
4 cos |
со^ = |
0. |
Если |
y£l = |
4, |
то |
||||||||
cos со^ = |
— 1 , |
a cos 2at |
= 1 и выражение |
(П.5) |
будет меньше |
ра |
||||||||||||
венства (11.13). То же самое будет |
иметь |
место |
при |
произвольном |
||||||||||||||
y0Q, так как в этом случае | cos |
at\ |
<; 1 и | cos |
2со / j <г 1. |
|
|
|||||||||||||
В случае |
р, = |
3 |
формулы |
(П.9) |
и |
(11.10) |
принимают |
вид |
||||||||||
sin Зф = |
3 sin ф — 4 sin3 |
ф; |
k [t) |
= 3 — 4 sin2 |
at. Тогда |
второе |
||||||||||||
уравнение (11.11) можно |
записать |
так: y0Q 4-9— |
12 sin2 со^ = |
0. |
||||||||||||||
Отсюда следует, что sin со t Ф |
0 и |
| cos |
со 11 < |
1, | cos 2 со t \ < 1, т. е. |
||||||||||||||
приходим к такому же |
выводу, как |
и для |
случая |
р, = 2. К |
анало |
|||||||||||||
гичному выводу приходим для любого |
|
целочисленного |
значения |
р,. |
||||||||||||||
Нечетное |
возбуждение. Рассмотрим |
|
стационарные |
вынужденные |
||||||||||||||
колебания, |
описываемые следующим |
уравнением [34]: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x\t) |
+ |
R (х) = |
Fx |
sin со* + |
F2 |
sin jico*. |
|
|
(II. 14) |
||||||
Поступая аналогично предыдущему, находим решение для стацио нарных колебаний:
f(*) = e(- e-rz^r sin coi + & i Д3 ( в 2 sin iicoij . |
(II. 15) |
1 В случае четного / и нечетного /р. получается меньшее значение, так как чле ны в равенстве (II.5) имеют разные знаки.
l i i
Исследуем данное решение на экстремум в интервале (II.6). Для это го продифференцируем выражение (11.15) по времени и приравняем к нулю:
/ W |
= 6 ( 9 » ° ? ^ |
cos Ы + |
Q 2 |
|
cos |
цсо^) = 0. |
||||
Используя |
обозначения |
(II.7), |
получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
cos at + |
cos fxco t = |
0. |
|
(II. 16) |
||
В отличие от предыдущего |
при решении |
уравнения (11.16) |
||||||||
возможны два случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если (д, — нечетное целое число, то в разложении cos ]iat в ка |
||||||||||
честве сомножителя |
присутствует |
cos at и, следовательно, одна из |
||||||||
труп п корней определяется уравнением eos со^ = |
0, т. е. |
|||||||||
Поскольку |
в этом случае |
|
|
|
|
|
|
|||
sinco(; T + |
|
- L ) = s |
i n J/_|L + |
J L j м |
= = J, |
/ = |
0 , |
1, 2, . . . ; |
||
sin |ш |
+ |
- LJ = |
S in ( / - 2 1 + |
J1 _ J |
LXCO = 1, |
ц |
= |
1, 5, 9 |
||
то, подставляя данные выражения в решение (11.15), получаем урав нение амплитудно-частотной характеристики в виде (11.13).
Если [д, =,3, 7, 11, |
то |
|
|
|
sin (ico (У Т + - £ - ) = |
sin (/ |
+ J L ) ^(о = |
_ l |
|
и формула (11.15) приводится к виду |
|
|
||
W = б ( т £ * г - |
И Г |
^ ) = |
- g i ^ - (1 - |
^ г ) • (И-17) |
Для того чтобы установить условия, при которых выражение (11.17) будет являться амплитудно-частотной характеристикой, сле дует рассмотреть другую группу корней.
Например, если ц, = 3, то уравнение (11.16) принимает вид
cos at + 4 cos2 of — 3J = 0.
Эта группа корней определяется уравнением
- ^ - + 4cos2atf — 3 = 0,
откуда
cos at = |
"|^3 |
j - y0Q. |
112