ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 0
ем следующее уравнение амплитудно-частотных характеристик коле баний, близких к неустойчивости:
Как показано выше, формула (1.212) остается справедливой и для случая несимметричных колебаний мягких систем. Используя вы ражения (1.212) и (1.296), для критического состояния имеем
9 ( 1 + 2 5 ) = - ^ . |
= 2ц. |
Из третьей формулы (1.296) видно, что величина ц. выражается через корни уравнения энергии (1.295). Выразить ее аналитически через параметры системы невозможно. Однако, как показывают вы числения, хорошую сходимость дает весьма простое выражение
е(1 + 2В) = 2 | х » | / Г - ^ - , |
(1.326) |
аналогичное формуле (1.250) для симметричных систем. Причем не симметрия системы учитывается параметром а), определяемым из уравнения (1.287) и первого равенства (1.285). Точность приближенно го выражения (1.326) тем выше, чем меньше несимметрия, т. е. чем меньше \у^\.
Подставляя формулу (1.326) в равенство (1.325), после простых преобразований получаем уравнение критических состояний
F = |
(1.327) |
|
m[n |
Входящая в эту формулу критическая амплитуда Л к р равна ненулевым корням характеристики уравнения (1.281), которые свя заны с ненулевыми корнями характеристики уравнения (1.284) пер вой зависимостью (1.292), т. е.
Ар = У = У* — - gjjj-r •
Ненулевые корни характеристики уравнения (1.284), как извест но [13], имеют вид
У * = ± ТГРГ ( ^ v 2 + 4 a : | P | ± У*
Следовательно, для критических амплитуд получаем два выра жения:
А«р = "QTRT f"Г" ± l / V ; + 4a:|P|). |
(1.328) |
2IPI |
|
Из этих-двух значений в формулу (1.327) подставляется то, которое дает минимальную по абсолютному значению амплитуду возбужде ния F.
Заметим, что принимая в формуле (1.327) Л к р согласно выраже нию (1.243) и полагая а* = а и б* = 0, получаем, как следовало
103
ожидать, уравнение (1.251) критических состояний симметричной системы. Полагая в формуле (1.327) попеременно F = 0 и со = О, получаем координаты точек пересечения кривой / критических со стояний с осями координат (рис. 71):
< и Fi =
|
V а |
|
|
а . |
min |
Для определения |
геометрического |
места точек срыва |
колебаний |
||
продифференцируем |
уравнение (1.54) |
по |
Л и положим |
|
= 0. |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
(/'0 + |
/ 0 ' ) ( 0 2 - с о 2 ) + |
2 ( / 0 - |
||
|
|
— б*) 60' = ± 200'F. (1.329) |
|||
о.сек
Рис. 71. Кривые критических состоя ний несимметричной системы без тре ния.
Это уравнение должно разре шаться совместно с уравнением амплитудно-частотной характе ристики (1.54), которое запишем так:
(/0 — SJ (92 — со2) = ± 0 2 F . (1.330)
Формулы (1.329) и (1.330) представляют собой параметри ческие уравнения кривой / / кри тических состояний (см. рис. 71). Координаты точек пересечения кривой // критических состоя ний с координатными осями, най денные так же, как в § 6 данной главы, следующие:
(1.331)
min
Использование выражений (1.329) и (1.330) затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому построим приближенную форму лу, приняв линейное приближение для частоты свободных колеба ний 02 = а;. Тогда 0' = 0 и выражение (1.329) принимает вид f У о ; (а; — со2) = 0.
Поскольку а ; ^ 0 и а ; — со2 Ф 0, то /' = 0, откуда / = с = = const, т. е. линейное приближение для частоты 0 (так же, как и для симметричных систем) влечет за собой осреднение амплитудной функции. Теперь уравнение (1.330) принимает вид
(с Val - 6J (о! - со2) = ± <F. |
(1.332) |
104
Используя граничные условия со = О, F = Fц, получаем
Здесь использована формула (1.331). Теперь уравнение критических состояний (1.332) принимает вид
F = |
( ± - г а * / з Т р Т + б * |
1 — со |
(1.333) |
|
а* |
|
На рис. 71 кривые критических состояний построены по форму лам (1.327) и (1.133) для системы с параметрами а = 1 се/с- 2 ; у =
= 0,15 см~х • сект"1; В = —0,2 см~2 • сект2; 6„ = —0,25 см • сект2; F0 = 0,25 см • сект2.
Кружками (кривая /) и точками (кривая //) представлены ре зультаты решения 1 на ABM МН-7. Как видим, совпадение аналити ческих и машинных решений можно признать удовлетворительным, если учесть, что машинные решения для кривой / занижены на 10—
15%. Физический смысл кривых и порядок пользования |
рис. 71 |
такой же, как на рис. 59 для симметричных систем (см. § 6 |
данной |
главы). |
|
Далее рассмотрим устойчивость колебаний с учетом вязкого трения.
Пользуясь формулой (1.110), записываем уравнение амплитудно-
частотной характеристики |
в виде |
|
F = ± - gr (/в - |
6J V(n* - со2 + 82 )2 + 4га2 |
(1.334) |
Используя выражения (1.32) и (1.334) и заменяя частоту 9 на |
9 (1 + |
|
+ 25), аналогично (1.248) получаем следующее уравнение для амп литудно-частотных характеристик колебаний, близких к неустой чивости:
± Q2 (1 + 2 S ) 2 |
=FB(I |
+ 2 5 ) Л ] / " а # - ^ - | В | Л 2 - (1.335) |
- б , У [п2 |
— со2 + |
92 (1 +- 2В)2 ]2 -+ 4/г2со2. |
Подставляя сюда приближенное выражение (1.326), приходим к уравнению критических состояний (кривая /)
F= |
А, |
(±-^rV2a*-\V\A2Kp- |
|
||
|
|
. (1.336) |
1 Результаты решения |
на АВМ, приведенные в этом параграфе, получены |
|
В. С. Горбатовым.
105
В формулу (1.336) подставляется то значение (1.328) критической амплитуды /4к р , которое дает минимальное абсолютное значение F.
Исследуя выражение (1.336) на экстремум, определяем координа ты минимума кривой / критических состояний:
со - / 4 - « : - / . « |
|
F =nV2 ±AK?V2am-\^\Alp-y^- |
(1.337) |
|
min |
Заметим, что приближенное равенство (1.326) справедливо в случае отсутствия трения. Поэтому формулой (1.336) можно поль зоваться для малых сопротивлений; при больших сопротивлениях естественнее воспользоваться приближенным равенством
/г2 + 6 2 ( 1 + 2 В ) 2 ^ - ^ - .
Подставляя это выражение в формулу |
С1.335), |
получаем уравнение |
критических состояний для больших значений |
/г и со <С Уа; г: |
|
± - ^ 1 / 2 а , - | 6 | 4 р |
|
со2 +4п2 со2 |
V V а* |
|
|
|
|
(1.338) |
Для приближенного определения геометрического места точек срыва колебаний в соответствии с изложенным выше примем в
уравнении (1.334) линейное приближение для частоты 02 + |
пг = ai |
||||||||
и осредним |
амплитудную |
функцию / |
с = const. |
Имеем |
|||||
F |
= |
• (с У а, |
— бJ У (а: — со2)2 + |
4n2co2. |
(1.339) |
||||
|
|
а; |
|
|
|
|
|
|
|
Постоянную |
с найдем |
из |
граничных |
условий |
со = |
О, F — F/t. |
|||
Используя формулу (1.231), получаем такое же значение с, |
как для |
||||||||
случая отсутствия трения. Подставляя его в формулу |
(1.339), прихо |
||||||||
дим к следующему уравнению критических состояний |
(кривая / / ) : |
||||||||
F =
(1.340)
1 Ограничение со < J^a* вытекает из сопоставления аналитических и машин ных решений.
106
Этим уравнением следует пользоваться для умеренных значе
ний п. При |
больших значениях п лучшую |
сходимость с машинными |
||
решениями |
дает |
уравнение. |
|
|
|
|
F = - 4 ( ± - ! - « , / V r p T + |
|
|
|
+ |
l / ( a : — со2)2 + 12шо |
- со)2 |
(1.341) |
На рис. 72 приведены построенные по формулам (1.336) — (1.341) графики критических состояний для системы с теми же параметрами,
|
|
|
|
|
|
|
|
а.сен |
|
|
1 |
/ |
о,сек' |
Рис. 72. |
Кривые |
критических |
состоя |
Рис. 73. |
Кривые |
критических |
состоя |
||||||
ний несимметричной системы при вяз |
ний несимметричной системы при тур |
||||||||||||
ком трении: |
|
|
|
|
булентном |
сопротивлении: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
/ |
— |
л |
= |
0,05 сек-1; |
2 |
— л = |
0,20 |
сек— |
t — п — |
0,05 |
cm~1;2 |
— л = 0,20 |
см~1. |
3 |
— |
п |
= |
0,30 |
4 |
— л = |
0,50 сек~1 |
|
|
|
|
|
|
что и на рис. 71. Здесь же условными обозначениями представлены результаты решения на ABM МН-7. Как видно, совпадение резуль татов можно признать удовлетворительным. Порядок пользова ния графиками такой же, как и для симметричных систем (см. § 6 динной главы).
Рассмотрим влияние турбулентного сопротивления |
на |
устой |
||
чивость колебаний. |
Корректируя путем |
замены 0 на |
0 (1 + 2В), |
|
а на а.^ и F0 на |
амплитудно-частотную |
характеристику |
(1.308), |
|
для несимметричных колебаний мягких систем, близких |
к неустой |
|||
чивости, имеем
107