ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 0
Находим |
|
|
|
|
|
|
sin at = УI — cos2 at = |
"j/"1 + |
у0 й; |
sin dat |
= |
sin at (3 — 4 sin2 coi) == i - j |
/ 1 - f i - 7 |
o Q (2 — -^-y^j. |
Подставляя |
эти значения в формулу |
(11.15), получаем выражение |
||
Сопоставляя выражения (11.17) и (11.18), легко установить, что
если Y„Q < 9, то / ( х ) т а х = |
/2 |
(х), |
а |
если |
y0Q > |
9, |
то f (x) m a x = |
||
= h (*)• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, в случае |
= |
3 |
выражение |
для |
амплитудно- |
|||
частотной |
характеристики |
определяется |
формулами |
(П.17) при |
|||||
V„Q > 9 и (11.18) при y0Q < |
9. |
|
|
|
|
|
|
||
Иная |
картина имеет место в случае четного ц. Тогда уравнение |
||||||||
(11.16) приводится к алгебраическому |
уравнению второго и более |
||||||||
высоких порядков. Например, для ц, = |
2 уравнение (11.16) принима |
||||||||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 at + |
4— cos at |
|
~- = 0. |
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Разрешая это квадратное уравнение, получаем два корня |
|||||||||
|
(cos coOi.2 = - |
|
Q ± |
У |
A |
- Q2 + |
± - , |
(II. 19) |
|
которые соответствуют двум экстремальным значениям амплитудной
функции (11.15). Так как (cos со^ > |
0, то аргумент первого корня |
||
(11.19) находится в |
интервале |
|
|
/ Т < г |
1 < / Т + - ^ , |
/ = 0 , 1 , 2 , . . . , |
(11.20) |
а поскольку (cos со^г < 0i т 0 аргумент второго корня (11.19) нахо дится в интервале
/ Т + - £ - < * „ < / Т + - £ - , |
/ = 0 , 1 , 2 , . . . |
(11.21) |
Определим, какому из этих значений t соответствует макси мальное значение амплитудной функции / (х). Для этого исследуем вторую производную от функции / (х) по времени
f(x) = - e ( - ^ ^ s m a t + |
sinuWJ, ц = 2. |
(11.22) |
|
Для значения tlt |
находящегося в интервале (11.20), |
|
|
|
sinco*>0, |
sin2co*>0 |
(П.23) |
и, следовательно, |
/ (х) <; 0, а значит, |
|
|
|
f W M , = / ( J t U |
(П.24) |
|
8 4-5 |
И З |
Для значения t2, находящегося в интервале (11.21),
sinco/>0; |
sin 2со* < 0 . |
(11.25) |
Покажем, что в этом случае / (х) > |
0. Как видно из формулы (11.22), |
|
для этого необходимо, чтобы |
|
|
Используя обозначения (II.7) и подставляя ц. = 2, находим yuQ <С 4. Из решений (11.19) вытекает, что второй корень (11.19) будет
иметь место при условии
которое приводится к неравенству |
|
7 0 Q < 2 . |
(11.26) |
Следовательно, |
|
/(*),=,, = f ( x ) m i n . |
(11.27) |
Итак, при выполнении условия (11.26) функция / (х) |
имеет два |
экстремальных значения, причем | / ( * ) т а * | > | / ( * ) m i n | . |
Последнее |
неравенство вытекает из того, что при максимуме (11.24), в соответ ствии с (11.23), оба члена в решении (11.15) однозначные, а при мини
муме (11.27), в соответствии |
с (11.25), они имеют |
противоположные |
знаки. |
|
|
Таким образом, если ввести обозначение |
|
|
К (cosco^ = |
£>- Й + j / ^ - Q 2 |
+ - L , |
то для амплитудно-частотной характеристики получим выражение
f(*U* = ПА) = - р ^ з г VT=k* ( l + J * - ) . |
(11.28) |
Заметим, что первый корень (11.19), соответствующий (coscoOi. всегда имеет место, так как условие его существования
приводится к очевидному неравенству y0Q > —2. Амплитудно-частотные характеристики. Как показано выше,
для четного возбуждения при любом ц, и нечетного возбуждения при нечетном у. = 1, 5, 9, ... справедлива амплитудно-частотная харак теристика (11.13), которую запишем так:
/ (± А) - в ( - ё г ^ г + е * Д с о 2 ) • |
(П.29) |
Отсюда видно, что это уравнение биквадратно относительно частоты возбуждения со и, следовательно, может иметь до четырех положи-
114
тельных значений со при заданной амплитуде А. В частности, для стационарных колебаний, описываемых уравнением
x(t) + ax{t) + В*3 (/) = Fx cos со/ + F2 |
cos port |
(II. 30) |
при а > 0 и В ^ 0 , в соответствии с формулами |
(1.32) и (11.29), для |
|
амплитудно-частотной характеристики получаем выражение |
|
|
Здесь 0 определяется по формулам (1.33) или (1.207)—(1.209). |
|
|
Характер изменения амплитуд для случая |
р. = 2 и В > |
0 по |
казан на рис. 74. С увеличением частоты возбуждения со, когда раз
ность 0 — (хсо далека |
от нуля, ам- • |
|
|
|
|||||||
плитуда колебаний при совместном И' | |
|
|
|||||||||
действии |
двух |
|
гармоник |
больше, |
|
|
|
||||
чем при |
раздельном |
их действии. |
|
|
|
||||||
На этом участке |
влияние |
основной |
|
|
|
||||||
гармоники |
на |
амплитуду |
колеба |
|
|
|
|||||
ний, |
вызванных |
действием |
второй |
|
|
|
|||||
гармоники, |
существенно. |
В |
даль |
|
в |
а |
|||||
нейшем, |
с |
возрастанием |
со, когда |
J L |
|||||||
разность |
|
9 — р.ш - v 0, |
развива |
г |
|
|
|||||
ются |
колебания |
с |
резонансными |
Рис. 74. Амплитудно-частотные |
ха |
||||||
амплитудами |
от |
действия |
второй |
рактеристики жесткой системы при |
|||||||
бигармоническом |
возбуждении |
без |
|||||||||
гармоники с частотой цсо (ветвь/). |
трения. |
|
|
||||||||
На этом участке |
влияние основной |
|
|
|
|||||||
гармоники на ход развития колебаний невелико. Затем идет участок развития колебаний, вызванных действием основной гармоники,
причем пока разность 9 — со |
не близка нулю, влияние второй гар |
моники существенно. Когда |
же эта разность 9 — со ->• 0, развива |
ются колебания с резонансными амплитудами гармоники с основной частотой со (ветвь / / ) . Здесь влияние второй гармоники мало. После резонанса по основной частоте со развиваются колебания с амплиту
дой, большей, чем при раздельном действии гармоник. |
Количествен |
||
ная оценка влияния взаимодействия |
гармоник дана |
ниже |
(см. § 2 |
гл. II). |
|
|
|
Для систем с перескоком, когда |
в уравнении (11.30) |
а < ; 0, а |
|
В ;> 0, как показано выше (см. § 1 гл. I), возможны большие колеба ния, происходящие относительно неустойчивого положения равно весия х9 = 0, а также малые колебания относительно устойчивых
положений равновесия х^ = ± j / ^ - j p |
|
|
В соответствии с формулами (1.42) и (11.29) для больших |
колеба |
|
ний амплитудно-частотная характеристика принимает вид |
|
|
± А У±- ( М - . - а = 9 ( p A j r + ^ |
) , |
• |
где 9 определяется по формулам (1.41) или (1.214). |
|
|
8* |
115 |
В соответствии с формулами (1.45) и (11.29) для малых колеба ний амплитудно-частотная характеристика принимает вид
|
|
y i p |
У 2 |
|
|
I |
е а - ш з |
т |
ea — yPtifi ) • |
|
|
||||
Характер изменения амплитуд для систем с перескоком |
показан |
||||||||||||||
на рис. 75, из которого видно, что возможны два резонанса |
больших |
||||||||||||||
колебаний, |
после |
которых |
большие колебания сменяются малыми. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Возможен и второй |
случай |
|
(при ма |
|||||||
|
|
|
|
|
лых |
амплитудах |
возбуждения), |
когда |
|||||||
|
|
|
|
|
малые колебания |
переходят |
в |
боль |
|||||||
|
|
|
|
|
шие, |
которые |
затем |
снова |
переходят |
||||||
|
|
|
|
|
в |
малые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер |
|
влияния |
взаимодейст |
||||||
|
|
|
|
|
вия гармоник на амплитудно-частот |
||||||||||
|
|
|
|
|
ные характеристики для систем |
с пе |
|||||||||
|
|
|
|
|
рескоком примерно |
такой |
же, как и |
||||||||
|
|
|
|
|
для систем |
с |
кубической |
характери |
|||||||
Рис. 75. Амплитудно-частотные |
|
стикой. |
нечетного |
возбуждения, |
|||||||||||
характеристики системы с пере- |
|
|
В случае |
||||||||||||
с к о к о м |
п р и о и г а р м о н и ч е с к о м |
|
|
|
|
|
|
" г |
|
i ft 3 |
|
||||
ГУПИПМ |
ППИ ЙНГЯПМПННЦРГКПМ |
Т ' |
|
е * |
когда |
|
х -(- ссх -\- рх |
|
|||||||
возбуждении |
без трения. |
|
|
|
|||||||||||
ц = 1 , |
5, 9, ... приведенные |
= |
Fx |
sin at - f F2 |
sin (icoi, и кратности |
||||||||||
выше формулы справедливы. |
|
||||||||||||||
Для |
а > 0 , Р § 0 Й ( 1 |
= |
2 В соответствии |
с формулами (1.32) |
|||||||||||
и (11.28) |
амплитудно-частотная |
характеристика |
принимает |
вид |
|||||||||||
± |
A y . + ± f # - ± ^ |
|
у г = р ( i + |
J J r . ) . |
|
||||||||||
Для систем с кубической характеристикой и параметром крат ности [i = 3 в соответствии с формулами (1.32), (11.17) и (11.18) амплитудно-частотные характеристики будут иметь вид
± ^ / « + 4 - P ^ , - ± T ^ / 1 + T - T « Q ( i - + iir) .
vo^ > 9; |
|
± Л Уа + 4 - ВЛ* = 1 J ^ _ (! _ _ ! _ ) , |
Y O Q < 9 . |
Характер кривых, построенных по этим формулам, такой же как для случая четного возбуждения (см. рис. 74). Совершенно аналогично можно построить амплитудно-частотные характерис тики для случая нечетного возбуждения систем с перескоком (см. рис. 75).
Следует отметить, что здесь и в дальнейшем в качестве примеров нелинейных систем рассматриваются симметричные и несимметрич ные системы с кубической характеристикой и с перескоком. Однако эти результаты тривиально обобщаются на случай других систем. Для этого достаточно подставить в соответствующие формулы значение амплитудной функции f (А), заимствованное из главы I .
116
§ 2. Симметричное возбуждение систем с трением
Как показано в предыдущем параграфе, характер воз буждения (четное и нечетное) влияет на количественные оценки ам плитудно-частотных характеристик, но не влияет на качество ста ционарных колебаний. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать произвольное возбуждение (со сдвигом фаз гармоник), имея в виду, что четное и нечетное возбуждения можно расценивать как частные случаи произвольного возбуждения.
Вязкое трение. Рассмотрим [11] стационарные колебания нели нейной системы, описываемые уравнением
х + 2пх + R (х) = F1 cos (at + vx) -f- F2 cos (LUO/ + v2 ). (11.31)
Используя замены (1.86), преобразуем нелинейное уравнение (11.31) к линейному:
z" (е) + г (е) = —г- [Fx cos (at + vx ) + F2 cos (pat + v2 )].
Ф
Линеаризуя фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13) и используя зависимости (1.14) и (1.15), получаем уравнение, аналогичное (1.92):
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г" (г) + |
z (е) = \ |
е0 |
|
Fx |
cos (-jp е + |
vA J + F2 |
cos ^ |
- | - г -f- v. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.52) |
Частные решения для каждой из гармоник находятся аналогич |
|||||||||||||
но изложенному |
выше (см. § 2 гл. I) и определяются по формуле |
||||||||||||
(1.95), используя которую получаем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
п |
|
/ |
со . |
|
|
ч |
|
|
|
|
гх |
= ахе |
Т е |
cos |
vx — |
|
|
||||||
|
|
|
-g- е + |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
е- е |
|
V |
|
со |
, |
|
|
|
(И.ЗЗ) |
|
z2 |
= aze |
|
/ |
|
— р2 |
|
||||||
|
|
cos 1ц -g- е + v2 |
|
||||||||||
Здесь в соответствии с формулами (1.96) и (1.97) обозначено |
|||||||||||||
a i = |
—/• |
|
|
|
= — |
J |
' |
tg р, — |
л 2 — ш 2 + 03 ' |
||||
|
/ ( л 2 - со2 + О2 )2 + 4л2 ш2 |
|
S |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.34) |
a |
|
6 F |
i |
|
|
|
|
|
tso |
|
- |
2 |
щ а |
2 |
V (л2 — ц.2со2 + О2 )2 + 4лV c o 2 ' |
|
|
|
л 3 _ |
^ 2 f f l 2 + 0 2 |
|||||||
Поскольку уравнение (11.32) линейное, то, суммируя частные решения (11.33), имеем
а-л cos [ - | - е -f- v, — рх ) + а2 cos (и -у- е + v8 — p2j
117