Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.13) и (1.86) и учитывая обозначения (11.34), находим решение для стационарных колебаний:

Для построения амплитудно-частотной характеристики необхо­ димо определить максимум выражения (11.35), пользуясь методикой, изложенной выше. При этом следует иметь в виду трудность, воз­ никающую при учете вязкого трения. Она состоит в том, что фазы вынужденных колебаний рх и р2 , как видно из (11.34), зависят от частоты свободных колебаний 0, которые в свою очередь зависят от амплитуды колебаний. Следовательно, строго говоря, определение максимума выражения (11.35) возможно только путем последова­ тельных приближений. Однако, учитывая приближенность реше­ ний, а также наличие колебаний с умеренными амплитудами, сдвиги фаз рх и р2 можно считать фиксированными и приближенно вычис­ лять для значения частоты 0 линейных колебаний.

Определять максимум (11.35) удобно для конкретных значений параметров. Поэтому ограничимся рассмотрением в общем виде простейших частных случаев.

Наиболее простым является случай, когда vL да pl f v2 да р2 , а сдвиги фаз вынужденных колебаний весьма малы и ими можно пренебречь. Тогда решение (11.35) приближенно упрощается к виду

Заметим, что решения (II.5) и (11.36) аналогичны. Следователь­ но, условия их максимума одинаковы и определяются выражением (11.12). При этом обе гармоники одновременно принимают макси­ мальные значения cos at = 1 и cosp,co/ = I . Подставляя эти зна­ чения, а также х = А в (11.36), получаем выражение для амплитуд­ но-частотной характеристики:

Поскольку \i > 2, то согласно вычислениям, приведенным ни­ же, условия (11.38) можно рассматривать как приближенные для характеристики (11.37). Итак, максимальные значения амплитуд

118

Л т а х можно приближенно найти из выражений, получаемых путем

В качестве примера рассмотрим кубическую характеристику (1.31). В соответствии с формулами (1.32) и (11.37) для амплитудночастотной характеристики по­ лучаем выражение

на модели ЭМУ-8. Поскольку эти данные получены при нулевых начальных условиях, то максимальные амплитуды не реализованы (см. § 2 гл. I).

4.2 Результаты получены М. И. Казакевичем.

119

для малых колебаний

w + V ' Y (п2 — со2 + 62 )а + 4я2 со2 +

+V(л2 — ц2 со2 -f G2 )2 + 4л2 р.2

Построенная по этим формулам амплитудно-частотная характе­ ристика для параметров а = 1 сек—2; 6 = 3 см.-2 • сек—2; п —

ОМ

а, сен

Рис. 77. Амплитудно-частотные характеристики системы с перескоком при вязком трении и бигармоническом возбуждении:

Это зависит от начальных условий или от предыстории системы (уменьшение или увеличение частоты возбуждения).

120

Заметим, что решения (11.15) и (11.43) аналогичны. Следователь­ но условия их максимума будут одинаковыми и определятся первым

и подставляя эти выражения, а также х — А в решение (11.43),

скоком, характер которой такой же, как на рис. 77. Взаимодействие гармоник. Попытаемся оценить взаимное влия­

ние гармоник возбуждения. На рис. 78 представлены амплитудночастотные кривые для системы с кубической характеристикой с пара­

нения (11.31) на ЭЦВМ «Урал-3». Как видим, совпадение анали­ тических и машинных решений можно признать хорошим. Штри­ ховыми линиями на рис. 78 изображены амплитудно-частотные характеристики для монохроматических движений, полученные по формуле (11.41) при У7! = 0 и F2 = 0, штрих-пунктирными—скелетные

кривые 0 (Л) и

Значения коэффициента взаимного влияния гармоник k12, пред­ ставляющего собой отношение первых максимумов амплитудночастотных кривых, следующие:

'•2 Результаты получены Н.Г.Новиковой и М. Р. Суровицкой.

121