ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
выше (см. § 2 гл. II) вычислим отношения максимальных значений амплитудно-частотных характеристик для бигармонического и мо ногармонического возбуждений.
Сравнивая рис. 68 и 81, находим kX2 и k21 для случая вязкого трения (табл. 3).
Сопоставляя данные, приведенные на стр. 121 и в табл. 3, видим, что для минимальных амплитуд взаимное влияние гармоник больше, чем для максимальных, на которые вполне можно распространить выводы о взаимодействии гармоник для случая симметричного воз буждения (см. § 2 гл. II).
Для случая турбулентного сопротивления, сопоставляя рис. 69 и 82 а также рис. 70 и 83, получаем данные, которые приведены в табл. 4. Как видно из табл. 3 и 4, взаимное влияние гармоник за метно больше проявляется в системах с линейной характеристикой, чем в нелинейных системах; при турбулентном сопротивлении, чем
при вязком трении; на Атщ, чем на Атах; |
на первом максимуме, |
|
чем на втором. |
|
|
§ |
4. Субгармонические |
|
и |
ультрагармонические колебания |
|
Выясним закономерности стационарных колебаний с частотой, отличающейся от частоты возбуждения. Сначала рас смотрим более простой случай возбуждения.
Симметричное возбуждение. Исследуем случай отсутствия тре ния при четном" возбуждении, т. е. когда колебания описываются уравнением (II.2). Используя замены (1.3) и выражение (1.227), преобразуем нелинейное уравнение (II.2) к линейному, аналогич
ному |
(1.228): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
м |
4- |
? Ы |
— Л cos at + F |
cos parf |
|
|
„ |
„ |
|||
|
гГ (e) + |
z (e) |
e(l+2Bcos2a ) |
• |
|
|
( U - |
7 c i ) |
|||||
Рассматривая |
умеренно |
нелинейные |
системы, |
для |
которых |
||||||||
25 ^ |
1, представим приближенно уравнение (11.73) так: |
|
|
||||||||||
|
г" (Б) + г (е) = |
|
- i - |
(Fx |
cos erf + |
F2 |
cos pat) (1—25 |
cos 290 = |
|
||||
= |
{Fx cos at + F2 |
cos pat — BFX |
[cos (со — 29) t + |
cos (со + |
20) t] — |
||||||||
|
— BF2 |
[cos (pa — 20) t + |
cos (pa + |
20) |
/]} . |
|
|
||||||
Используя приближенное равенство (1.15), запишем это уравне |
|||||||||||||
ние |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2" ( 8 ) + 2 ( б ) |
= |
|
|
|
|
|
|
||
1 Для случая Р = 0 сопоставлялись амплитудно-частотные характеристики, изображенные сплошными линиями и построенные по более точным формулам.
134
= -g- j / 7 ! cos -g— e -f- F 2 |
cos [i -g— 8 |
5 |
^ |
cos ( - j - — 2Je + |
|
+ cos(4 + 2)e — BF, 3 |
( ( i T " 2 ) E |
+ |
c 0 |
S ( l i T + 2 |
) e ] |
|
|
|
|
|
(11.74) |
Сопоставляя уравнения (11.74) и (1.229), устанавливаем, что |
|||||
помимо суб- и ультрагармонических колебаний |
с частотами (со Т |
||||
=F 29), рассмотренных в § 5 гл. I , возникают также колебания с час |
|||||
тотами (LUO + 26). Амплитуды |
этих колебаний могут быть |
найдены |
|||
по формулам, приведенным в § 5 гл. 1 с заменой частоты |
со на р,со |
||||
и амплитуды F на F2. Этот вывод справедлив не только для основно го тона, но и для высших тонов.
Заметим, что сделанный вывод тривиально обобщается и на слу чай колебаний при наличии сопротивлений, т. е. когда движение
описывается |
уравнениями (11.31) и (11.45). Разумеется, что сформу |
|
лированный |
выше вывод справедлив для частного случая |
v1 =а рх |
и v3 » р2 , т. е. когда сдвиги фаз вынужденных колебаний |
весьма |
|
малы и ими можно пренебречь. |
|
|
Покажем, что такая же картина имеет место при нечетном воз |
||
буждении, |
когда колебания без трения описываются уравнением |
|
(11.14). |
|
|
Используя замены (1.3) и выражение (1.227), преобразуем нели
нейное |
уравнение |
(11.14) к |
линейному, |
аналогичному |
(11.73): |
|||||||||
|
|
|
г" ( 8 ) + 2 ( 8 ) |
= |
F, sin at + |
F2 |
sin u.cctf |
" |
|
|
(11.75) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
6(1 + 2 B cos 200 |
|
|
|
||||
Рассматривая |
умеренно |
|
нелинейные |
системы, |
для |
которых |
||||||||
2В < 1, представляем приближенно |
уравнение |
(11.75) |
так: |
|
||||||||||
|
г" (е) + г (е) = |
4 " ( Л sin at +- F2 |
sin \xwt) (1 — 2B cos 260 |
= |
||||||||||
= -g- {F1 sin at + |
F 2 |
sin pat — BF± [sin (со — 20) t + |
sin (со + 26) t] — |
|||||||||||
|
|
|
— BF2 |
[sin ([ico — |
26) t + |
sin (p,co + 26) t]). |
|
|
||||||
Используя |
приближенное |
равенство |
(1.15), запишем это уравне |
|||||||||||
ние |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2" ( Б ) + 2 ( 8 ) |
= |
|
|
|
|
|
|||
|
= |
-g- p i |
sin - | - е + F2 |
sin у. 4 s — BFX sin |
|
2J е + |
|
|||||||
+ |
sin(4 + 2 ) e |
•BF, |
sin (ц |
— |
2J е - f sin ((i, - | - + |
2J e |
j . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.76) |
Легко видеть, что амплитуды частных решений уравнений (11.74) и (11.76) будут одинаковы, поскольку они не зависят от фазы
135
возбуждения. Следовательно, выводы, полученные для четного возбуждения, справедливы также для нечетного и произвольного возбуждений. При наличии сопротивлений эти выводы справедливы
тогда, когда в уравнениях (11.31) и (11.45) рх — vx |
= |
и р2 |
— v2 = |
||
= |
4 " , где значения |
рх и р2 определяются по |
формулам |
(11.34) |
|
и |
(11.48). |
|
|
|
|
|
Несимметричное |
возбуждение. Рассмотрим |
случай |
отсутствия |
|
трения при четном возбуждении, т. е. когда колебания описыва ются уравнением (11.57). Используя замены (1.3) и выражение (1.227),
преобразуем нелинейное уравнение |
(11.57) к линейному, аналогич |
||
ному (11.73): |
|
|
|
z\4-t-z(b)~ |
0(1+2Bcos20/) |
|
|
В случае 2B -С 1 приближенно |
имеем |
|
|
г" (6 ) -|-2 (е ) = - L (6* + |
cos со/ + |
F2 cos [Mat) (1—2B |
cos 20/) = |
= -g- {6# -f- F x cos со/ + |
F2 cos p,co/ — 2B6* cos 20/ — BFX |
[cos (со —- |
|
— 29) / + cos (to -4- 29) /] — BF2 [cos (цсо — 20) / + cos (цю -f- 29) /]} .
Используя приближенное равенство (1.15), запишем это урав нение так:
г" (е) + |
г (е) = |
J5* -4- F x cos |
е + F2 cos р, |
/ — 2В6* cos 2е — |
|||||
- |
ВВг |
[cos |
2J 8 + |
cos |
+ 2J ej - SF2 |
[cos ^ - | |
|
2^ s - j - |
|
|
|
|
|
+ |
cos(t i-|- + 2 ) 8 ] } . |
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что помимо суб- и ультрагармонических |
колеба |
|||||||
ний с частотами (со =F 29) и 29, рассмотренных в § 7 гл. I , возникают |
|||||||||
также |
колебания с частотами |
(р,со + 29). Амплитуды этих |
колеба |
||||||
ний могут быть найдены по формулам § 5 гл. I с заменой частоты со |
|||||||||
нар,со. Этот вывод справедлив также и для высших тонов. |
|
||||||||
|
Заметим,, чтосформулированный вывод тривиально обобщается |
||||||||
и |
на случай |
колебаний |
при |
наличии сопротивлений |
для |
v, да рх |
|||
и v2 |
« |
р, при четном возбуждении и р{ — vx |
да и р2 |
— v2 да ~ |
|||||
при |
нечетном |
возбуждении. |
|
|
|
|
|||
§ 5. Устойчивость колебаний
Выше было показано, что характер возбуждения су щественно влияет на параметры стационарных колебаний. Естест венно, что характер возбуждения должен повлиять и на критерии устойчивости стационарных колебаний. Поэтому будем исследо-
136
вать устойчивость стационарных |
колебаний как для симметричного, |
|||||||
так |
и для несимметричного |
бигармонического возбуждения. |
||||||
Симметричное |
возбуждение. |
Сначала |
рассмотрим |
простейший |
||||
случай отсутствия сопротивления для системы с мягкой |
кубической |
|||||||
характеристикой, т. е. когда |
колебания |
описываются |
уравнением |
|||||
(11.30), где В < |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших |
||||||||
амплитуд колебаний |
получена |
в § 1 гл. I I . Этим же выражением,, |
||||||
как |
показано |
выше (см. § |
6 |
|
|
|
||
гл. |
I), можно воспользоваться и |
|
|
|
||||
для |
колебаний, |
близких к не |
|
|
|
|||
устойчивости, если скорректиро |
|
|
|
|||||
вать |
частоту 0, |
заменив |
ее на |
|
|
|
||
0 (1 + 2В), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 5 ] / a - 4 - | P H 2 |
= |
|
|
|
|
||
= 0 ( 1 + 2 5 ) [-р |
(1 |
F l |
— со2 |
|
|
|
|
|
|
02 |
2В)2 |
|
|
|
|
||
02 (1 + 25)* •
Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), получаем уравнение критических состояний
F
X |
( а - • 2ша) (а — 2ц2 щ2 ) |
Z о,яи~' |
||
р | а — 2ш2 |
| + | а — 2ц2 со2 |
|||
|
||||
где |
(11.77) |
|
|
F, = F; р=- |
(11.78) |
|
Fx |
Рис. 84. Кривые критических состоя ний симметричной системы без трения при бигармоническом возбуждении.
В знаменателе уравнения (11.77) выражения берутся по абсолютному значению, так как появление отрицательного знака у одного из
выражений |
соответствовало |
бы случаю действия одной гармоники |
||||
в противофазе |
с другой. |
|
|
|
||
Из выражения (11.77) видно, что кривые / критических |
состоя |
|||||
ний (рис. 84), построенные для системы с параметрами |
ее = |
1 се/с- 2 , |
||||
| В| = 0,2 см~2 |
• сект2, |
\к = |
2, р = 1, пересекаются |
с осями ко |
||
ординат в |
точках |
|
|
|
|
|
a |
-I Г |
а |
|
со, |
|
|
_ _ 2 ~ |
У Т ё Т ' |
1 + р |
|
|
||
Выше (см. § 6 гл. I) было показано, что срыв колебаний также приводит к неустойчивости. На рис. 84 кривые _// критических состояний представляют собой геометрическое место точек срыва колебаний. Параметрическими уравнениями кривых //'• являются
137
амплитудно-частотная характеристика (11.29) |
и |
производная ее |
||||||||||||||||
по со, в которой принято |
^ |
= 0, а именно: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (92 — со2) (б2 - |
ц2со2) = |
FQ (р | б2 — со21 + |
| 9а |
— |л2со21); |
(11.79) |
|||||||||||||
|
f (92 — со2) (б2 — |х2со2) + 299'/ [202 |
— со2 (1 + ц2 )] |
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= FQ' (р | 392 |
— со21 + | 392 — ц2со21). |
|
|
|
|
|
||||||||||
Определим координаты точек пересечения |
кривых |
/ / |
с |
осями |
||||||||||||||
и и Р . Полагая |
в уравнениях |
(11.79) F = |
0, имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
/(92 —со2 )(92 —ц2 со2 ) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
? (92 — со2) (92 |
— ц2со2) + 2087 (292 — to2 (1 + |
ц2)] = 0. |
(11.80) |
||||||||||||||
Поскольку / Ф 0 и 202 |
— со2 |
(1 -4- LI 2 ) ф 0, из |
системы (11.80) на |
|||||||||||||||
ходим |
со = 0, со = 0/ji, 200' |
= 0, dQVdA = |
0, |
02 |
= const. |
|
|
|
||||||||||
Для |
малых |
значений |
F при со4 |
Ф со Ф со3 |
будут |
иметь |
место |
|||||||||||
малые линейные колебания. Следовательно, 02 = а. Таким |
|
обра |
||||||||||||||||
зом, получаем координаты двух точек (см. рис. 84) пересечения |
кри |
|||||||||||||||||
вых / / |
с осью |
со : соа = |
— ]/сх; |
со4 |
= |
У а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полагая в формулах |
(11.79) со = |
0, Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
fe=F„(l+p); |
|
f 0 2 + |
4907 = |
3F/ / 0'(] + |
р). |
|
|
(11.81) |
|||||||||
Исключая отсюда Fu (1 + р), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
/'9 + /9' = 0. |
_ |
|
|
|
|
|
(11.82) |
||||||
При |
статическом |
воздействии |
(со = |
0, |
х = |
0, х = А0) |
уравне |
|||||||||||
ние колебаний (11.79) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
aA0 |
|
— \$\Al=,F/t(l+p). |
|
|
|
|
|
|
(11.83) |
||||||
Дифференцируя это равенство по А0, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
а — 3|В| A% = F'„(\ |
+р). |
|
|
|
|
|
(11.84) |
||||||||
Дифференцируя |
по А0 |
первое выражение |
(11.81), |
получаем |
f'Q + |
|||||||||||||
+ /8' = |
F/r (1 + р). Сопоставляя |
это равенство с формулой (11.82), |
||||||||||||||||
определяем FIt |
(1 + |
р) = |
0. Далее, из выражения |
(11.84) |
находим |
|||||||||||||
А0 = |
з "р | • |
Подставляя |
это |
значение |
в |
равенство |
(11.83), |
|||||||||||
окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F,, |
= |
|
— |
Т / |
а |
|
|
|
|
|
|
(П.85) |
||||
|
|
г |
" |
|
3 ( 1 + д ) |
V 3 | 6 | • |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|||||
Построение |
кривых |
/ / по уравнениям |
(11.79) |
требует |
|
весьма |
||||||||||||
громоздких вычислений. Оказывается, что результаты этих вычис лений могут быть аппроксимированы сравнительно простым выра жением
|
(а - со2) (а — )х2со2) |
(11.86) |
|
31 Р | |
р | а — со21 + | а — ц2й>21 |
||
|
Это выражение получено из следующих соображений.
138