ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
Принимаем для частоты линейное приближение 02 |
= а. Тогда |
|
0' = 0 и второе |
уравнение (11.79) принимает вид /' (02 |
— со2) (02 — |
— р,2со2) = 0. |
Поскольку (02 — со2) (02 — р2со2) ф 0, |
то /' = .0, |
откуда f = С — const, т. е. линейное приближение для частоты вле
чет |
за собой |
осреднение амплитудной функции. Теперь пер |
||
вое |
уравнение |
(11.79) |
принимает вид С (а — со3) (а — р,2ш2) = |
|
= F ] / а (р\а |
— со2 \ + |
| а — р2 со2 1). Используя граничные условия |
||
со = |
0 и F = |
FJI и принимая во внимание формулу (11.85), находим |
что и приводит к выражению (11.86).
На рис. 84 кривые II критических состояний построены по фор муле (11.86) для системы с теми же параметрами, что и кривые /. Здесь же точками и кружками показаны результаты решения 1 на ABM МН-7. Как видим, совпадение аналитических и машинных результатов можно признать удовлетворительным. Физический смысл кривых и порядок пользования ими такой же, как для графиков на рис. 59 для моногармонического возбуждения.
Далее рассмотрим устойчивость стационарных колебаний при вязком трении, т. е. когда колебания описываются уравнением
х + 2пх + ах — | Р | хя = Fx cos cat + F2 cos \iwt. В этом случае, как показано выше (см. §2 гл. II), амплитудно-частотная характеристи ка для колебаний с умеренно большими амплитудами определяется выражением (11.41). Заменив в нем 0 на 0 (1 + 2В), получаем вы ражение характеристики для колебаний, близких к неустойчивости:
АЛГа-\ |
1 Р И 2 = |
, |
6 ( 1 + |
2 Б |
> ^ |
+ |
' |
2 1 1 |
У [л2 — со2 + 82 (1 + 2 £ ) 2 ] 2 + 4л2 ш2 |
||||
+ |
, |
6(1 + |
2 ^ , |
|
|
|
|
У [л2 — ц2 ш2 + б 2 |
(1 + 2S)2 ]2 |
+ |
4л2 ц2 <о2 |
|
Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), находим уравнение критических состояний
| / " | |
+ я 2 — co2 j2 + 4л2 ш2 |
+ л 2 — ц 2 ш 2 | 2 + 4я2 р.2 со2 |
х |
|
|
Р Y(jj- |
+ « 2 — ш 2 | 2 + 4я2 ш2 + У ^ - ^ + п* — H2 co2 j2 + 4л2 |х2 со2 |
(11.89)
Здесь использованы обозначения (11.78). Полагая в формуле (11.89) п = 0, получаем, как и следовало ожидать, выражение (11.77).
1 Приведенные в данном параграфе результаты решения на АВМ МН-7 полу чены В. С. Горбатовым.
139
Заметим, что при больших коэффициентах затухания естествен но вместо равенства (1.250) принять приближенное выражение
62 (1 + |
2В)2 + / г 2 « - £ - . |
(11.90) |
Тогда уравнение (11.89) |
критических состояний |
упрощается 1 |
к виду |
|
|
X ' У ( Т
|
2 |
- а |
|
2 |
со2 |
+4п-шЧ |
рАо2 ) |
+4п^*ш* |
|
|
|
|
|
(11.91) |
|
+ 4 / l 2 t 0 i + |
( Т " — Цаш* + 4л2 ц2 со2 |
Подставляя в эту формулу со = 0, находим координату точки пересечения кривой / критических состояний с осью F (см. рис. 84):
|
|
|
F ' = |
2 ( 1 + р ) |
V |
IPI " |
|
|
|
Чтобы построить приближенную формулу для кривых |
/ / крити |
||||||||
ческих |
состояний, |
воспользуемся |
изложенной |
выше |
методикой |
||||
и подставим в уравнение (11.41) приближенные |
выражения |
||||||||
|
|
О2 |
да/г2+ |
02 да а,. |
/ « С |
= const. |
(11.92) |
||
Будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
С |
У [(а - т'У» + |
4п2 со2 ) [(а - ц2 со2 )2 + |
4п»рЛо«Т |
щ ggj |
||||
|
}Лх |
р V (а — со2 )2 + |
4/г2со2 |
+ V (а. — |x2coa)a + 4л2 ц2 со2 |
|
||||
Поскольку |
сопротивления |
колебаниям не оказывают |
влияния |
||||||
на статические перемещения, точка пересечения кривой / / |
критиче |
ских состояний с осью F должна совпадать с точкой Fu в случае от
сутствия трения (п = |
0). Подставляя в уравнение (11.93) граничные |
условия со = 0 и F = |
FJJ, а также используя формулу (11.85), по |
лучаем выражение (11.87). Подставляя его в равенство (11.93),
окончательно |
имеем |
|
|
|
|||
р |
2 |
-л Г |
а |
УЦа — со2 )2 |
+ |
4л2 со2 ] Ца - - р.2со2)2 + |
4па ц2 со2 ] |
~ |
3 |
V |
3 | 0 | |
р Y ( a — со2 )2 |
+ |
4л2 со2 + V(a — р.2со2)2 |
+ 4л2р.2со2 |
|
|
|
|
|
|
|
(11.94) |
Полагая здесь я = |
0, как и следовало ожидать, приходим к уравне |
||||||
нию (11.86). |
|
|
|
|
|
Заметим, что уравнение (11.94) кривых 77 критических состоя ний, являющихся геометрическим местом точек срыва колебаний, справедливо для малых коэффициентов затухания. При больших коэффициентах затухания лучше соответствует машинным решени-
1 Формулой (II.9Г) следует пользоваться для со < У^сГ. Это ограничение вы текает из сравнения аналитических и машинных решений.
140
ям следующее выражение х :
|
|
|
|
3IPI |
X |
|
|
|
V[(а — со2 )2 + 4л2 со2 |
+ 12лсо (У а — со)2] X |
|
|
|||||
X |
[(а — |д.2со2)2 |
+ |
4л2 ц2 со2 + |
12лцсо (Уа — |хш)2| |
(11.95) |
|||
X |
|
+ |
4л2 ш2 + |
12лсо (Уа — со)2 + |
|
|||
р Via. — со2 )2 |
|
|
||||||
+ Via |
— р.2со2)2 |
+ |
4л2 (х2 со2 |
+ 12лцсо (У а — р.со)2 |
|
|
||
Рассмотрим также влияние турбулентного сопротивления на |
||||||||
устойчивость стационарных |
колебаний, |
описываемых |
уравнением |
|||||
х + rixz- • sgn х + ах — | Р 1 я 3 |
= |
|
Fx cos со/ 4 F-г, cos цсо/. |
Корректируя |
амплитудно-частотную характеристику (11.54) заменой Э на 0 (1 4
4 25) и используя |
формулы |
(1.243) и (1.250), получаем уравнение |
||||||||
кривой |
/ критических |
состояний: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
PI X |
|
|
|
|
а |
/ 4 |
а |
• Л 2 — l j ' 4 16 |
|
-л2 со4 X |
|||
|
|
|
|
|
я 2 | Р | |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
4а |
|
|
|
ал 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
У [ - г + - ( - |
л 2 |
|
•л 2 — 1 |
Н - 1 6 - — ^ ( 0 * 4 |
|||||
|
| Р I |
|
|
|
||||||
|
, |
о |
|
|
/ |
4ал |
2 |
УР |
|
ал 2 . |
|
+ У | - + ^ 2 |
( — - ! ) ] |
4 1 6 ^ ^ |
|||||||
Здесь |
использованы обозначения |
(11.78). |
|
(11.96) |
||||||
|
|
Кривая / / критических состояний может быть построена по урав нению, полученному аналогично уравнению (11.94) для вязкого
трения: |
|
|
|
|
|
3IPI |
X |
а 4 со2 |
я 3 |
л3 — 1 +1 6 |
л 3 со4 X |
\ |
/ J |
я 2 |
|
X < а + |
|
4Л2 |
А1 |
ц2 со2 |
|
||
X |
|
2 |
да |
|
|
||
|
|
|
+ 16 —— л2 со4 + |
+ | / | a + p A o 2 |
n 2 — l' |
+ 1 6 - + - л 2 р . 4 с о 4 |
|
|
|
|
"я 2 |
1 Эмпирические формулы, приведенные в этом параграфе, получены В. С.Гор батовым.
141
Этим уравнением пользоваться неудобно, так как в нем содержит ся амплитуда колебаний А в момент срыва. Вычисления показывают, что результаты расчетов хорошо аппроксимируются выражением
|
з |
V з | р |
i X |
|
|
(а — со2 )2 + |
6 |
|
• со)3 |
лсо |
(а — ц 2 ш 2 ) 2 + |
|
+ 6 у з | р |
|
|
|
лр.ш |
X |
|
|
|
(11.97) |
|
|
|
|
|
||
р | / " ( а - |
со 2 ) 2 + 6 У |
|
[/а |
- |
со)2 лсо + |
f | / ~ ( a - p . 2 c u 2 ) 2 - f - 6 У |
-г |
• CV^a |
— М-м)3 лцсо |
Для оценки точности полученных результатов на рис. 85 постро ены кривые критических состояний для системы с параметрами а =
= 1 сек-2; |
| В | = 0,2 см~2 |
• сект2; |
р. = 2; р = 1 при различных |
значениях |
п по формулам |
(11.89), |
(11.91), (11.94) и (11.95), а на |
рис. 86 — по формулам (11.96) и (11.97). Здесь же приведены резуль таты решений на ABM МН-7. Как видно, совпадение аналитических
|
|
Z |
асек* |
|
/ |
|
Z а.се К1 |
Рис. |
85. |
Кривые критических |
Рис. 86. Кривые критических со |
||||
состояний |
симметричной |
систе |
стояний |
симметричной |
системы |
||
мы при вязком трении и бигар- |
при турбулентном сопротивлении |
||||||
моническом возбуждении: |
|
и бигармоническом возбуждении: |
|||||
/ = г л = 0 , 0 5 |
сек~1; 2—л=0,20 |
сек—1; |
л = 0 , 0 5 см~1; |
2—п=0,20 |
см—1; |
||
В = |
л = 0,50 с е к - 1 . |
|
3 _ л = |
0,40 |
см~1. |
|
142