Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Принимаем для частоты линейное приближение 02

= а. Тогда

0' = 0 и второе

уравнение (11.79) принимает вид /' (02

— со2) (02

— р,2со2) = 0.

Поскольку (02 — со2) (02 — р2со2) ф 0,

то /' = .0,

откуда f = С — const, т. е. линейное приближение для частоты вле­

чет

за собой

осреднение амплитудной функции. Теперь пер­

вое

уравнение

(11.79)

принимает вид С (а — со3) (а — р,2ш2) =

= F ] / а (р\а

— со2 \ +

| а — р2 со2 1). Используя граничные условия

со =

0 и F =

FJI и принимая во внимание формулу (11.85), находим

что и приводит к выражению (11.86).

На рис. 84 кривые II критических состояний построены по фор­ муле (11.86) для системы с теми же параметрами, что и кривые /. Здесь же точками и кружками показаны результаты решения 1 на ABM МН-7. Как видим, совпадение аналитических и машинных результатов можно признать удовлетворительным. Физический смысл кривых и порядок пользования ими такой же, как для графиков на рис. 59 для моногармонического возбуждения.

Далее рассмотрим устойчивость стационарных колебаний при вязком трении, т. е. когда колебания описываются уравнением

х + 2пх + ах — | Р | хя = Fx cos cat + F2 cos \iwt. В этом случае, как показано выше (см. §2 гл. II), амплитудно-частотная характеристи­ ка для колебаний с умеренно большими амплитудами определяется выражением (11.41). Заменив в нем 0 на 0 (1 + 2В), получаем вы­ ражение характеристики для колебаний, близких к неустойчивости:

АЛГа-\

1 Р И 2 =

,

6 ( 1 +

2 Б

> ^

+

'

2 1 1

У 2 — со2 + 82 (1 + 2 £ ) 2 ] 2 + 4л2 ш2

+

,

6(1 +

2 ^ ,

 

 

 

 

У 2 — ц2 ш2 + б 2

(1 + 2S)2 ]2

+

2 ц2 2

 

Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), находим уравнение критических состояний

| / " |

+ я 2 — co2 j2 + 2 ш2

+ л 2 — ц 2 ш 2 | 2 + 4я2 р.2 со2

х

 

 

Р Y(jj-

+ « 2 — ш 2 | 2 + 4я2 ш2 + У ^ - ^ + п* — H2 co2 j2 + 2 2 со2

(11.89)

Здесь использованы обозначения (11.78). Полагая в формуле (11.89) п = 0, получаем, как и следовало ожидать, выражение (11.77).

1 Приведенные в данном параграфе результаты решения на АВМ МН-7 полу­ чены В. С. Горбатовым.

139



Заметим, что при больших коэффициентах затухания естествен­ но вместо равенства (1.250) принять приближенное выражение

62 (1 +

2В)2 + / г 2 « - £ - .

(11.90)

Тогда уравнение (11.89)

критических состояний

упрощается 1

к виду

 

 

X ' У ( Т

 

2

- а

 

2

со2

+4п-шЧ

рАо2 )

+4п^*ш*

 

 

 

 

(11.91)

 

+ 4 / l 2 t 0 i +

( Т " Цаш* + 4л2 ц2 со2

Подставляя в эту формулу со = 0, находим координату точки пересечения кривой / критических состояний с осью F (см. рис. 84):

 

 

 

F ' =

2 ( 1 + р )

V

IPI "

 

 

Чтобы построить приближенную формулу для кривых

/ / крити­

ческих

состояний,

воспользуемся

изложенной

выше

методикой

и подставим в уравнение (11.41) приближенные

выражения

 

 

О2

да/г2+

02 да а,.

/ « С

= const.

(11.92)

Будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

С

У [(а - т'У» +

4п2 со2 ) [(а - ц2 со2 )2 +

4п»рЛо«Т

щ ggj

 

}Лх

р V (а — со2 )2 +

4/г2со2

+ V (а. — |x2coa)a + 4л2 ц2 со2

 

Поскольку

сопротивления

колебаниям не оказывают

влияния

на статические перемещения, точка пересечения кривой / /

критиче­

ских состояний с осью F должна совпадать с точкой Fu в случае от­

сутствия трения (п =

0). Подставляя в уравнение (11.93) граничные

условия со = 0 и F =

FJJ, а также используя формулу (11.85), по­

лучаем выражение (11.87). Подставляя его в равенство (11.93),

окончательно

имеем

 

 

 

р

2

-л Г

а

УЦа — со2 )2

+

2 со2 ] Ца - - р.2со2)2 +

4па ц2 со2 ]

~

3

V

3 | 0 |

р Y ( a — со2 )2

+

2 со2 + V(a — р.2со2)2

+ 4л2р.2со2

 

 

 

 

 

 

 

(11.94)

Полагая здесь я =

0, как и следовало ожидать, приходим к уравне­

нию (11.86).

 

 

 

 

 

Заметим, что уравнение (11.94) кривых 77 критических состоя­ ний, являющихся геометрическим местом точек срыва колебаний, справедливо для малых коэффициентов затухания. При больших коэффициентах затухания лучше соответствует машинным решени-

1 Формулой (II.9Г) следует пользоваться для со < У^сГ. Это ограничение вы­ текает из сравнения аналитических и машинных решений.

140


ям следующее выражение х :

 

 

 

 

3IPI

X

 

 

V[(а — со2 )2 + 4л2 со2

+ 12лсо (У а — со)2] X

 

 

X

[(а — |д.2со2)2

+

2 ц2 со2 +

12лцсо (Уа — |хш)2|

(11.95)

X

 

+

2 ш2 +

12лсо (Уа — со)2 +

 

р Via. — со2 )2

 

 

+ Via

— р.2со2)2

+

2 2 со2

+ 12лцсо (У а — р.со)2

 

 

Рассмотрим также влияние турбулентного сопротивления на

устойчивость стационарных

колебаний,

описываемых

уравнением

х + rixz- • sgn х + ах — | Р 1 я 3

=

 

Fx cos со/ 4 F-г, cos цсо/.

Корректируя

амплитудно-частотную характеристику (11.54) заменой Э на 0 (1 4

4 25) и используя

формулы

(1.243) и (1.250), получаем уравнение

кривой

/ критических

состояний:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PI X

 

 

 

 

а

/ 4

а

• Л 2 l j ' 4 16

 

2 со4 X

 

 

 

 

 

я 2 | Р |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

ал 2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

У [ - г + - ( -

л 2

 

•л 2 — 1

Н - 1 6 - — ^ ( 0 * 4

 

| Р I

 

 

 

 

,

о

 

 

/

4ал

2

УР

 

ал 2 .

 

+ У | - + ^ 2

( — - ! ) ]

4 1 6 ^ ^

Здесь

использованы обозначения

(11.78).

 

(11.96)

 

 

Кривая / / критических состояний может быть построена по урав­ нению, полученному аналогично уравнению (11.94) для вязкого

трения:

 

 

 

 

 

3IPI

X

а 4 со2

я 3

л3 — 1 +1 6

л 3 со4 X

\

/ J

я 2

X < а +

 

2

А1

ц2 со2

 

X

 

2

да

 

 

 

 

 

+ 16 —— л2 со4 +

+ | / | a + p A o 2

n 2 — l'

+ 1 6 - + - л 2 р . 4 с о 4

 

 

 

2

1 Эмпирические формулы, приведенные в этом параграфе, получены В. С.Гор­ батовым.

141


Этим уравнением пользоваться неудобно, так как в нем содержит­ ся амплитуда колебаний А в момент срыва. Вычисления показывают, что результаты расчетов хорошо аппроксимируются выражением

 

з

V з | р

i X

 

(а — со2 )2 +

6

 

• со)3

лсо

(а — ц 2 ш 2 ) 2 +

 

+ 6 у з | р

 

 

 

лр.ш

X

 

 

 

(11.97)

 

 

 

 

р | / " ( а -

со 2 ) 2 + 6 У

 

[/а

-

со)2 лсо +

f | / ~ ( a - p . 2 c u 2 ) 2 - f - 6 У

-г

• CV^a

— М-м)3 лцсо

Для оценки точности полученных результатов на рис. 85 постро­ ены кривые критических состояний для системы с параметрами а =

= 1 сек-2;

| В | = 0,2 см~2

• сект2;

р. = 2; р = 1 при различных

значениях

п по формулам

(11.89),

(11.91), (11.94) и (11.95), а на

рис. 86 — по формулам (11.96) и (11.97). Здесь же приведены резуль­ таты решений на ABM МН-7. Как видно, совпадение аналитических

 

 

Z

асек*

 

/

 

Z а.се К1

Рис.

85.

Кривые критических

Рис. 86. Кривые критических со­

состояний

симметричной

систе­

стояний

симметричной

системы

мы при вязком трении и бигар-

при турбулентном сопротивлении

моническом возбуждении:

 

и бигармоническом возбуждении:

/ = г л = 0 , 0 5

сек~1; 2—л=0,20

сек—1;

л = 0 , 0 5 см~1;

2—п=0,20

см—1;

В =

л = 0,50 с е к - 1 .

 

3 _ л =

0,40

см~1.

 

142