Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и машинных результатов можно признать удовлетворительным *•. Порядок пользования графиками рис. 85 и 86 такой же, как и гра­ фиками рис. 71.

Несимметричное возбуждение. Рассмотрим случай отсутствия трения, т. е. когда колебания описываются уравнением (11.57). В § 3 данной главы получена амплитудно-частотная характеристика

для колебаний

с

умеренно

большими

амплитудами. Заменяя 0

на

0 (1 +

25), получаем характеристику

для колебаний,

близких

к

неустойчивости:

 

 

 

 

 

 

ч - у П / а

1

161 Л 2 - -

6*

I

9 ( 1 + 2 B ) F 1

 

 

1

F а *

2

1^1

9(1 + 2В) ^

92 (1+2S)2 - со3

^

 

 

 

 

.

9(1+25)/ ^

 

 

 

^92(1 + 2В)3 — рАо2 -

Подставляя сюда выражение (1.326), после простых преобразо­ ваний получаем уравнение критических состояний

F =

. — со2

-ц2 ш2

X

(11.98)

+

min

Здесь использованы обозначения (1.282) и (11.78). Параметр а"опре­ деляется из уравнения (1.287) и первого равенства (1.285).

Из двух значений (1.328) критической амплитуды Л к р в формулу (II.98) подставляется то, которое дает минимальную по абсолютному значению амплитуду возбуждения F.

Исследование выражения (11.98) показывает, что кривая / критических состояний (рис. 87) пересекается с осями в точках

скоординатами

F,=

± J ^ V 2

a , - \ p - \ A $ p - 2 - A

1 + Р

 

к а

а .

Кривая I I критических состояний от срыва колебаний может быть построена путем совместного решения системы уравнения амплитуд-

1 Следует иметь в виду, что ошибка решений на ABM МН-7 может составить 10—15%.

143

но-частотной характеристики и ее производной по Л, где принято

J®. - О- dA

(/0 — К) С02 - й 2 ) (02 — I-*2"2) = ^02 (р 1 0 2 —ы 2 1 + 1 0 2 — ^2ю21); (11.99)

(/'0 + /0') (02 — со2) (03 — uAo2) + 200' (/0 — бJ [202 — (1 + ii2 ) со2] =

= 2FQQ' (р 1202 — со21 + 1203 — рАо21).

Решая параметрические уравнения (11.99), аналогично изложен­ ному выше находим координаты пересечения кривой / / с осями:

 

•та*У 3 | Р |

min 1 +Р

С0Ч

_

со4

= Ya\-

Построение кривой / / критичес­ ких состояний с использованием па­ раметрических уравнений (П. 99) весьма сложно из-за громоздкости вычислений. Результаты этих расче­ тов хорошо аппроксимируются прос­ тым выражением,'полученным анало­ гично формуле (11.86):

 

 

 

 

 

F

=

а .

 

3|Р1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о,сек

 

 

•б*

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 87.

Кривые критических со­

 

 

(а — ш2) (а — |х2ш2)

 

стояний

несимметричной

системы

X

 

 

без трения

при

бигармоническом

 

+

К

• и,'-ш2

 

возбуждении.

 

 

 

 

min

-

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.100)

Для оценки точности полученных результатов на рис. 87 по фор­

мулам (11.98) и (11.100) построены

графики критических состояний

для системы с параметрами а =

1 се/с- 1 ; |В\ =

0,2 см—2

• сек-2;

у = 0,15 см—1

• сек~2;

б0 — F0

=

— 0,5 см • сек—2; р = 1; |л = 2.

Кружками

(кривая

/) и точками

(кривая II)

представлены ре­

зультаты

решений на

ABM МН-7.

Соответствие

аналитических

и машинных результатов можно признать хорошим. Порядок поль­ зования графиками рис. 87 такой же, как для графиков рис. 84.

Далее рассмотрим устойчивость стационарных колебаний при наличии вязкого трения, т. е. когда колебания описываются урав­ нениями, (11.60) или (11.61). Амплитудно-частотная характеристика в этом случае определяется формулой (11.63). Заменив в ней 0

1 4 4

на 0 (1 + 2В) и используя выражения (1.326) и (11.78), получаем уравнение кривой / критических состояний:

 

F

=

 

 

 

 

а

 

У

1Г/ а

у

X

 

+ л г _Ш 2 1 + 4„2Ш2

+ л2 — |л2ю2J + 4л2ц,2со2

 

 

 

 

 

] /

" +

я 2 -

со 2 ) 2 + 4л2 со2 + ] / ^ ( " ^ - + п " ~ l ^ 2 » 2 ) 2 + 4л*ц»ш»

 

 

 

 

 

(11.101)

Из двух

значений

(1.328)

критической амплитуды Л к р в формулу

(11.101) подставляется то, которое дает минимальную по абсолют­ ному значению амплитуду возбуждения F. При больших коэффи­ циентах затухания и со <; |/"^*следует использовать приближенное

выражение (11.90), т. е. в круглых скобках формулы (11.101) сле­

дует положить п = 0.

 

 

 

Для построения

кривой / /

критических состояний

при умерен­

ных сопротивлениях можно пользоваться выражением

 

F =

( ± 4 а * / з Щ - - б * ) Х

 

 

 

У [[а] — со2 )2 -|- 4л2 ш2 ] [(а* — р.2со2)2 + 4л2 р.2 со2 ]

(11.102)

X

 

 

 

р ] / ( а * — со2 )2 + 4л2 со2 +

]/"(а] — ц2 со2 )2 +

4л2 ц2 со2

 

Эта формула получена аналогично уравнению (11.94).

 

При больших

значениях

коэффициентов

затухания лучшую

сходимость с машинными решениями дает формула,

аналогичная

выражению (11.95):

 

 

 

 

( ± Т - а У ш

- б * ) х

У

[(а* — со2 )2 +

4л2 со2 +

12лш ( К а * — ш)2

]

 

X

[(а* — ц2 со2 )2

+ 4л2 ц2 со2

+

12л|ЛСО {Уа — (ш)2 ]

(11.103)

*

 

 

 

—

*

 

Р У (а

— со2 )2 +

4л2 со2 +

12лш (У а

— со)2

+

 

+ У(а'

— ц.2 ша )

г + 4л2 ц2 ш2 +

12лцсо ( ] / а * — jico)2

min

 

 

 

 

 

 

 

 

10 4-5

145

Для оценки точности полученных результатов

на рис. 88

по формулам (11.101) — (11.103) построены графики

критических

состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 87 при различных значениях п. Здесь же приведены результаты реше­ ния на АВМ МН-7. Как видим, соответствие аналитических и машинных результатов можно признать удовлетворительным.

Рассмотрим устойчивость ста­ ционарных колебаний при тур­ булентном сопротивлении, т. е. когда колебания описываются уравнением (11.66) или (11.67). Амплитудно-частотная характе­ ристика для этого случая опре­ деляется выражениями (11.70) и (11.72). Заменив в них 0 на

Рис. 88. Кривые критических состоя­ ний несимметричной системы при вяз­ ком трении и бигармоническом возбуж­ дении:

/ ~ п

=

0,05

с е / с - 1 ; 2 — л = 0,20 сек~

S — п

•=

0,50

« к - 1 .

0 (1 + 2В) и используя формулы (1.326) и (11.78), получаем урав­ нение кривой / критических состояний:

F = ± _ ^ ] / 2 a , - | P | 4 p - 2 J ± \ X

 

 

4А

кр Я2 —1

 

 

А2

 

 

 

 

 

 

 

 

+

16—?£-п*а>*\ X

 

 

 

X

•|Х2 С02

4А кр

Л 2

—

1

+ 16 — i £ _ n iu«o> 4

X

 

 

 

 

 

 

 

я 2

 

 

 

У14-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л 2 — 1

 

 

я 2

ш4

+

 

 

 

+ С02!

4 А К Р

 

+ 16—!2_ л2

 

 

+

-|12 С02

4А:кр

Л 2

—

1

+16 -

- р - я 2

ц 4

с о

4

 

 

Я2

 

 

 

 

я 2

 

 

|min

(11.104)

146

Из двух значений (1.328) критической

амплитуды Л к р

в

формулу

(11.104) подставляется то, которое дает минимальную по абсолют­

ному значению возбуждения

 

F.

 

 

 

 

 

 

Для построения кривой / / критических состояний можно пользо­

ваться выражением, аналогичным уравнению (11.97):

 

 

F =

( ± 4 A * / 3 ¥ T ~ 6

* ) x

 

 

 

 

 

 

] / к а * — со2 )2 +

6Л,пш(]/а* — со)3] [(а* — ц2 ш2 )2 +

б/^лцш)Уа] — цш)3]

 

р 1/"(а* - со2 )2

+ 6Л*лй) (]/"«* — со)3 +

 

 

+

~

И2 ш2 )2

+

6Л»пцсо ( ] / ^ _

1^)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.105)

где Л.,. — абсолютная

величина

 

координаты

экстремальной точки

характеристики

системы,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А*. —

1

• ( ?

 

± ^ . 2

+ За;|В|)

i n

(П.106)

 

3 | В |

V I"*

'

Г. I

1 Г I/ | m

Входящие сюда параметры определяются из выражений (1.285) — (1.287).

Для оценки точности полученных результатов на рис. 89 по фор­ мулам (11.104) и (11.105) построены графики критических состоя­

ний для системы с параметрами а =

1 сек—1

; | В \ = 0,2 см~2

х

% сек~2; у =

0,15 см~1 • сек—2; 80

— F0 =

0,5

см • сект2; р

=

= I," [i = 2.

Здесь же представлены

результаты

решений на АВМ

МН-7. Как видно, совпадение результатов можно признать удовлет­ ворительным.

Взаимодействие гармоник. Оценим влияние взаимодействия гармоник на устойчивость стационарных колебаний. На рис. 90— 95 выполнено сопоставление графиков критических состояний при бигармоническом возбуждении (сплошные линии) и при моно­ гармоническом возбуждении (штрих-пунктирные линии). На этих же рисунках приведены результаты решения на АВМ МН-7. Причем моногармоническому возбуждению соответствуют кружки (кривая Г)

и

точки (кривая II), а бигармоническому — крестики (кривая II)

и штрихи в кружках (кривая I). Рис. 90—92 соответствуют симмет­

ричным системам, а рис. 93—95 — несимметричным.

Рис. 90 представляет собой совмещение рис. 59 и 84. Рис. 91

построен с использованием данных рис. 62 и 85. Рис.

92 построен

с использованием данных рис. 64 и 86 и соответствует

случаю тур­

булентного сопротивления с коэффициентом п =

0,2

см—1 . Рис. 93

представляет собой

совмещение рис. 71 и 87 и

отражает случай

отсутствия трения в

несимметричной системе. Рис.

94 построен с

ю*

 

 

147

Смотрите также файлы