ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 0
Рис. 89. |
Графики |
критических |
состоя |
Рис. 90. |
К оценке |
влияния взаимо |
|||
ний несимметричной системы при тур |
действия |
гармоник |
на устойчивость |
||||||
булентном сопротивлении, и бигармони |
симметричных колебаний без тре |
||||||||
ческом возбуждении:' |
|
|
|
ния. : |
|
|
|
||
/ _ п = |
0.05 с м ~ |
2 — |
п = |
0.20 |
см.—1. |
|
|
|
|
|
сисе/г'' |
|
|
|
i 1 |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
||
|
|
11 |
|
t, |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
//. |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1/f |
I/ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
2 o,ce/f'
Рис. 91. К оценке влияния взаимодействия гармоник на устой чивость симметричных колебаний при вязком трении:
•а — п = 0,2 сек—1; б — п = 0,5 сек—1.
Рис. 92. К оценке |
влияния вза |
Рис. 93. К оценке влияния взаимо~ |
имодействия гармоник на устой |
действия гармоник на устойчивость |
|
чивость симметричных колебаний |
несимметричных колебаний без тре |
|
при турбулентном |
сопротивле |
ния. |
нии.
использованием данных рис. 72 и 88 при п = 0,2 сект1, а рис. 95 — с использованием данных рис. 73 и 89 при п = 0,2 см~К
Из анализа данных рис. 90—95 и аналогичных данных для дру гих коэффициентов сопротивлений можно сделать следующие выводы о взаимном влиянии гармоник на устойчивость колебаний.
Взаимное влияние гармоник заметно уменьшает критические амплитуды возбуждения.
Сувеличением коэффициента затухания при вязком трении вза имное влияние гармоник уменьшается.
Сувеличением коэффициента затухания при турбулентном со противлении взаимное влияние гармоник увеличивается.
Всимметричных системах взаимное влияние гармоник больше, чем в несимметричных.
Г Л А В А I I I
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ
ВОЗБУЖДЕНИЕ
Рассмотрим случай периодического возбуждения, т. е когда возмущающая сила F (/) задана в виде периодической функции
с периодом Т = |
где со — основная частота возбуждения. По |
ложив функцию F (/) удовлетворяющей условиям Дирихле, предста вим ее в виде разложения в ряд Фурье [4 ]:
|
а* |
°° |
|
|
|
F (/) = —g- |
+ 2 (а* cos со(/ + b' sin соД |
( I I I . 1) |
|||
где коэффициенты ac и bt определяются по известным [4 ] |
формулам; |
||||
т |
|
т |
|
||
а'о = ~ |
\ F (/) cos со,/ dt; |
а' = — |
\ F (/) cos со,/ dt\ |
||
0 |
T |
|
0 |
|
(III.2) |
b* = |
— J F (/) sin со,/ dt; |
со, = |
ко, i = 1, 2, |
3. |
|
о
Как показано выше (см. § 7 гл. I и § 3 гл. II), наличие постоян ной составляющей в функции возбуждения делает его несимметрич ным (см. § 3 данной главы).
Сначала рассмотрим более простой случай симметричного воз буждения, т. е. когда в разложении (III.1) а0 = 0.
§ 1. Симметричное возбуждение |
|
|||
систем |
без |
трения |
|
|
Полагая |
в формуле ( I I I . 1) |
а0 = 0, получаем |
разложе |
|
ние в ряд симметричного |
возбуждения: |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
F (/) = 2 |
(a* cos со,/ + |
Ь* sin со,/). |
(III.3) |
|
t=i
Рассмотрим три возможных случая [30 ] симметричного возбужде ния:
1. Если Ъ\ = 0, то F (— /) = F (/); возбуждение четное.
151
2. Если а' = 0, то F (— t) = — F {t)\ возбуждение нечетное.
3. Если |
а* Ф О и |
b' фО, |
то |
по аналогии |
с предыдущим |
|
(см. гл. II) такое возбуждение будем называть произвольным. |
||||||
Четное |
возбуждение. Рассмотрим стационарные колебания нели |
|||||
нейной системы, описываемые |
уравнением |
|
||||
|
х (t) + R (х) = |
со |
a"i cos со!*. |
|
||
|
2 |
(Ш.4) |
||||
|
|
|
|
(=i |
|
|
Использовав замены (1.3), преобразуем нелинейное уравнение |
||||||
(III.4) к линейному, аналогичному (1.12): |
|
|||||
|
г" (е) + |
г (&) = |
-Д — |
Ц |
a,* cos coi. |
(II 1.5) |
|
|
|
Ф (0 |
'=i |
|
|
Линеаризуя фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13)
и используя зависимости (1.14) и (1.15), получаем |
|
|
2"(е) + 2 ( е ) = - ^ - £ |
aUos^-г. |
(III.6) |
Стационарные колебания определяются частными решениями |
||
уравнения (III.6), которые будем искать в виде |
|
|
2( = С(СОЗ-^-е = С г с о 5 - | - е , |
г = 1,2,3, . . . |
(II 1.7) |
Здесь использована последняя формула (III.2).
Подставляя выражения (III.7) в уравнение (III.6) и приравнивая к нулю коэффициенты при косинусах одинаковых аргументов, получаем
|
* |
С{ = |
——г— , i = 1, 2, 3, . . . |
. ( . - » - £ )
Поскольку уравнение (III.6) линейное, то, суммируя частные реше ния (III.7), имеем
ос > Ш
1=1
Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.3) и (1.13), находим решение для стационарных колебаний1 :
/ ( * ) = £ p - W cos |
to/. |
(III.8) |
6=i |
|
|
1 Предполагается, что свободные колебания с частотой G затухли.
152
Исследуем решение (II 1.8) на экстремум в интервале (II.6) изменения времени. Для этого продифференцируем выражение (III.8) по времени и приравняем к нулю:
S°° Qia*,ю
35—Lj-g.siniorf-0. (III.9)
Как указывается выше (см. § 1 гл. II), синус кратного аргумента можно разложить по степеням синуса основного аргумента по фор
муле (II.9). Следовательно, каждый член суммы (III.9) |
содержит |
|
синус основного аргумента sin со/. Тогда, введя обозначение |
||
^ ^ - Й п ^ Г ' |
' = 1.2.3 |
(ШЛО) |
запишем уравнение (III.9) так: |
|
|
sin со/р 6 2 J . 2 ( o 2 |
Ki(t) = 0. |
( I I I . l l ) |
Отсюда получаем два уравнения для критических значений аргу мента со/:
sinco/ = 0; |
£ |
ft,(0 |
= 0- |
(HI-12) |
Для первого уравнения одна группа критических значений опре деляется формулой (11.12), т. е. когда cos/со/ = 1. Подставляя эти значения в равенство (III.8), получаем выражение для амплитудночастотной характеристики, аналогичное (11.13):
СО ф *
/ (*)„,„ = / (А) = £ - д г ^ г • |
(Ш . 13) |
Заметим, что вторая группа критических |
значений первого |
уравнения (111.12) / = |
}Т + 772, когда cos /со/ = (— 1)', не соответ |
|||||
ствует максимуму функции (III.8). Поскольку cos/со/ < |
1, выраже |
|||||
ние |
( I I I . 13) |
является |
максимумом равенства |
(III.8). Это дает право |
||
не |
рассматривать второе уравнение ( I I I . 12), |
которое заведомо, по |
||||
добно тому как это показано в § 1 гл. I I , должно дать меньшее зна |
||||||
чение функции (III.8). |
|
|
|
|
||
Нечетное |
возбуждение. Рассмотрим |
стационарные |
колебания |
|||
нелинейной системы, описываемые уравнением |
|
|||||
|
|
|
оо |
|
|
|
"x(t)+ |
|
R(x) = 2 |
&*sinco</. |
(111.14) |
||
Аналогично изложенному можно получить частное решение уравне ния ( I I I . 14) в виде, подобном (III.8):
S м |
Qb, |
|
|
,t |
, sin/со/. |
(111.15) |
с=\
1 5 3"