Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и (111.72) уравнения критических состояний будут иметь такой вид: для кривой /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( - 'У yt

 

(II 1.79)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£=1.3.5..

 

 

 

 

для кривой / /

 

 

/'=0,1.2...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3IPI

 

( - 1)'

У1

(111.80)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1,3,5,...

 

 

 

Если

в

этих формулах

ограни­

/=0.1,2....

 

 

 

сн-ин''

 

 

 

читься

только

одним

членом

 

 

 

 

/

Jo

ряда,

то ух = 1

и

выражение

 

(II 1.79) принимает вид

 

 

 

 

 

F ° ~ 8 V | в

а

— со

 

/ f °

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ш.81)

 

г /

 

 

Это

выражение определяет кри­

 

 

 

 

/ ,

 

 

вую

 

/

критических

состояний.

 

 

 

Что

касается уравнения

кривой

 

 

 

/ /

критических

состояний, то,

 

//

 

 

 

/ /

 

 

подставляя приближенное равен­

if V—

 

 

ство

(II 1.77) в формулу

(II 1.80),

 

 

получаем

выражение (III.78).

• о- /

 

 

Кривые критических

состоя­

 

 

 

 

*.-2

 

ний,

 

построенные по формулам

 

 

 

 

(III.81)

и

(111.78), изображены

 

 

 

 

на

рис. 112 штрих-пунктирной

i

 

 

 

линией.

Здесь же

крестиками

 

 

 

Рис. 112. Кривые

критических

состоя­

(кривая // ) и черточками в круж­

ний симметричной системы

при п — 0:

ках (кривая I) представлены ре­

/ — п р я м о у г о л ь н о е

в о з б у ж д е н и е ;

2 —

зультаты решения на АВМ МН-7

т р е у г о л ь н о е в о з б у ж д е н и е .

 

 

уравнения

(III.70)

при возбуж­

 

 

 

 

дении

(III.37). Как

видно из рис. 112, совпадение аналитических

и машинных результатов можно признать удовлетворительным. Из сопоставления графиков на рис. 112 и рис. 59 следует, что форма возбуждения незначительно влияет на характер кривой / / крити­ ческих состояний, в то время как кривая / критических состояний отражает существенное влияние формы возбуждения на устойчивость

колебаний,

особенно для амплитуды

возбуждения

F0 >• Fu.

Влияние

сопротивлений. Сначала

рассмотрим

влияние вязко­

го трения на устойчивость стационарных

колебаний, описываемых

уравнением

 

 

 

 

x'(t) + 2пх (I) - f ах (t) + pV (t) = F (t),

cc>0,

p < 0.(111.82)

Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний при произвольном периодическом возбуждении

12*

181

определяется выражениями (III.26) и (1.32). Как показано выше (см. § 6 гл. I), этими же выражениями можно воспользоваться и для колебаний, близких к неустойчивости, если скорректировать час­ тоту 0, заменив ее на 0 (1 + 2В), т. е.

 

л у .

• i p ^ - f ,

 

 

 

 

 

е " + 2 В > <

 

.

 

Г

 

2

 

£J

У [ „ ' 2 _

 

 

+

6 a ( l

+ 2В)2 ]2 + 4rt2t'2co2

Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), получаем

уравнение

для кривой I критических

состояний:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=1

[/

In 2

— ;2 ш2 +

- | - )

+ 4n2i2co2

 

 

 

При значительных коэффициентах трения и частотах

со < )/сГ

следует принять приближенное выражение (11.90). Тогда

уравнение

для кривой / критических состояний упрощается к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,•=1

]

/

 

 

 

_ PcoiJ 4 - 4л2 ш2 £а

 

 

 

Для

кривой

/ /

критических

 

 

состояний,

аналогично

тому, как

это сделано в случае бигармонического

 

 

возбуждения (см. §5 гл. II),

получены следующие приближенные выражения:

 

 

 

при малых

коэффициентах

затухания

 

 

 

 

 

 

 

3

Г 3 | Р |

^

У ( а — i«co2)2 +

4я2 /2 со2

 

 

 

при

больших

коэффициентах

 

 

 

затухания

 

 

 

 

 

а

_ _

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d i

 

 

 

 

 

3

'

3 з/в I

~ > Ч

 

2

co

2

)

2

+ 4n

2

2

co

2

+

12шш ( / a —

to)

2

 

' Р '

i=\

Via— t

 

 

 

i

 

 

iB качестве примеров рассмотрим влияние вязкого трения на ус­ тойчивость колебаний системы (III.82) при возбуждениях (III.33)

и(111.37).

Вслучае воздействия на систему возбуждения (III.33), в соот­ ветствии с формулами (III.35), (III.83) и (III.84), уравнения кри­ тических состояний будут иметь следующий вид:

для кривой 1

 

/=1,3,5,... I "|/

(п? — £2со2 + - | - | 2 +

4п*Р

для кривой I I

т

 

 

 

 

.

_JL_ = —4 р Vv i

1

3 I P I

я ° / = 1 д 5 > - _

£ | / ( а —i2 co2 )2 + 4л2 !2 ш2

182

Ограничиваясь

здесь первыми

членами

рядов, т. е. полагая

т = 1, и учитывая для кривой

I I равенство

(III.77),

приближенно

получаем:

 

 

 

 

 

для

кривой /

 

 

 

 

 

 

' • - T / T F T I / ( * 2

- * 2 + - f ) 2 + W

;

для

кривой / /

 

 

 

 

 

 

F » =

" Г V " W

^ ( « - " > 2 ) a

+ W .

(111.85)

Рис. 113. Кривые

критических состояний симметричной си­

стемы при вязком трении:

 

а — п = 0,05 сек~';

6 — п — 0,2 сек~!;

. п р я м о у г о л ь н о е в о з б у ж ­

д е н и е ; ^ — т р е у г о л ь н о е в о з б у ж д е н и е .

Построенные по этим формулам

кривые критических, состояний

для системы с параметрами а = 1 сек—1; 6 = — 0,2 смг2 • сект2, изображены на рис. 113 сплошными линиями.

В случае воздействия на систему возбуждения (II 1.37), в соответ­

ствии с формулами (III.39),

(III.83) и (III.84),

уравнения критиче­

ских состояний будут иметь такой вид:

 

для кривой I

 

 

m

( - 1 ) '

 

 

 

/=1,3,5,.

» j / ^ / i * — /«со3 +

- | - ) 2 + 4na i3 m3

/=0,1,2,...

 

 

183

для

кривой / /

 

 

 

 

 

 

 

 

_2_ 1 /

= J _ Р

V

 

(~ ^

 

_

 

3

V

3JM

я 2

° г

= 1 ^ 5

. "

« / ( о

+ 4пЧ»ш»

'

 

 

 

 

/=0.1:2;™

 

 

 

 

Ограничиваясь здесь первыми

членами

полиномов,

т. е. полагая

т = 1, для кривой / приближенно получаем

 

 

 

 

^ = -т- Т^ттг • V [пг -0)2+т-)2+4*2c°a

• ( I I L 8 6 )

Учитывая приближенное

равенство

(II 1.77), для

кривой

/ / по­

лучаем

выражение

(III.85).

 

 

 

 

 

 

Построенные по формулам (III.85) и (III.86) кривые критических

состояний

изображены

на рис. 113 штрих-пунктирными линиями.

Здесь же условными

обозначениями 1 показаны

результаты

реше­

ния на

АВММН-7

уравнения

(111.82)

при возбуждении (III.33) и

(111.37).

Как видно из рис. 113, соответствие машинных и аналитических результатов хорошее.

Теперь рассмотрим влияние турбулентного сопротивления на

устойчивость

стационарных

колебаний, описываемых уравнением

x\t) + пхг(0

• sgnx + ах( 0 +

№(t) = F(t), а>О,

В < 0 . (III.87)

Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний при произвольном периодическом возбуждении определяется выражением (III.48). Этим же выражением можно вос­ пользоваться и для колебаний, близких к неустойчивости, если заменить в них 0 на 9 (1 + 25), т. е.

 

A]/roc+-L

2 ВЛ2 =

 

0(1 +2B)d*

|^со2

ла — l) +

0а (1 + 25)а ' + 16 4 « w

Подставляя сюда (1.243) и (1.250), получаем уравнение кривой / критических состояний:

m

(I II.88)

1 Здесь и дальше обозначения такие же, как на рис. 112.

184

Для кривой / / критических состояний, аналогично тому, как

это сделано в случае бигармонического возбуждения (см. § 5 гл. II),

получено

выражение

3 Vт

\

~ 2 "

г = 1

Этим выражением пользоваться неудобно, так как оно содержит амплитуду колебаний. Хорошее совпадение с машинным решением обеспечивает эмпирическая формула

=1

/со)3

пно

" | / " ( а - «*соТ + 6 У -g^-j- (Уа - ь

 

(111.89)

Вкачестве примеров рассмотрим влияние турбулентного сопро­ тивления на устойчивость системы (III.87) при возбуждениях (111.33) и (111.37).

Вслучае воздействия на систему возбуждения (III.33), в соответ­ ствии с формулами (III.35), (III.88) и (III.89), уравнения крити­ ческих состояний будут иметь следующий вид:

для кривой /

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

а

-шг~*

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

для

кривой

/ /

V 31 В

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

=

—

F

 

 

 

 

 

 

 

—

1

п

i | / " ( а - i^co3) + 6

У

-^щ-

(fa-

ш>)3 • nia

 

 

1=1,3.5,.

Ограничиваясь

здесь первыми

членами

полиномов,

т. е. полагая

т = 1, и учитывая

для кривой

/ / равенство

(III.77), приближен­

но получаем такие уравнения критических состояний:

 

для

кривой

/

 

 

 

 

 

 

' • - т У т ! г У И 4 - ^ т - - ' ) + т

2 , 1 6

«

 

 

 

для

кривой

/ /

V^-^+^V^-(Va-^n..

 

'

•

- Т У Ж '

( I l l .90)

185

Смотрите также файлы