ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
cos (at — p) = 1, получаем уравнение амплитудно-частотной харак теристики для колебаний в пределах люфта
F Усо2 + 4л |
2 |
(1.124) |
|
А < а 0 . |
|
со (со2 — 4л|) |
|
|
Если положим п2 = 0, то не получим уравнение (1.84), потому что
при « 2 |
= 0 колебания несимметричны и А есть удвоенная амплиту |
|
да, а |
наличие |
вязкого трения делает колебания симметричными. |
В случае х > |
а0 справедливо первое уравнение (1.117), и поэтому |
|
можно пользоваться формулами (1.99) и (1.101). В частности, поль- |
||
"тах>см
\о,г?
|
|
|
|
|
1 |
|
0,09 |
0,1Z |
л,,сен |
|
|
OA |
0,д |
а.сен' |
0.0J |
О, OS |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 40. |
Амплитудно-частотные |
харак |
Рис. 41. Зависимость амплитуд |
колеба |
|||||
теристики осциллятора с люфтами при |
ний осциллятора с люфтами от коэффи |
||||||||
вязком трении: |
|
|
циента |
затухания |
при вязком |
трении. |
|||
О |
— F = |
0.5 см • с е / с - 2 ; |
• — F=0,25 |
смХ |
|
|
|
|
|
X |
сек~2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
зуясь |
выражением |
(1.81), для |
линейной |
характеристики (1.80) |
||
(см. рис. 19, а), получаем уравнение амплитудно-частотных характе |
||||||
ристик |
в виде |
|
|
|
|
|
|
У(А-2а0)аА |
= ± |
BF. |
|
. |
(1.125) |
|
|
У |
(п\ — ш2 + |
02 )2 |
+ 4я2 02 |
|
Как |
показано ранее (см. § 1), амплитудные |
кривые, |
построенные |
|||
по формуле (1.125), имеют неустойчивые левые ветви. Для получения устойчивых ветвей в формуле (1.125) следует принять отрицательное значение амплитуды. Тогда уравнение (1.125) амплитудно-частот ной характеристики принимает вид
V(A + 2a0)aA |
= ± |
QF |
(1.125') |
|
У (л2 — ш2 + б2 )2 + 4я 2 6 2 |
|
|
Здесь 0 определяется |
по формуле |
(1.83). Амплитудные |
кривые, |
построенные по формулам (1.124) и (1.125') при а0 = 1 см, а = 1 се/с-2
и |
пх = 1Ц = |
0,07 |
сек~1 |
для F = 0,25 см • сек-2, |
пх = п2 = |
= |
0,09 сек-] |
для |
F = 0,5 |
см • сект2, изображены |
на рис. 40. |
Здесь же представлены результаты решения задачи на ЭЦВМ «Урал-3» при нулевых начальных условиях. Как видно из ри
сунка, |
совпадение |
аналитических |
и машинных решений для F = |
= 0,25 см • сект2 |
можно признать |
хорошими. Зависимость между |
|
Лщах и |
пх приведена на рис. 41. |
|
|
46
§ 3. Колебания при турбулентном сопротивлении
Общая теория. Рассмотрим стационарные колебания при турбулентном сопротивлении, описываемые уравнением
х (/) + пх2 |
(/) sgn х + R (х) = F cos wt. |
(I.126) |
|
Здесь использована функция Кронекера |
|
|
|
sgn х |
~\( + 1 при |
х>0; |
|
|
[— 1 при |
* < ; 0 . |
|
Преобразуем уравнение (1.126) к виду (1.2). С этой целью вос пользуемся заменами (1.3). Подставляя их и формулу (1.4) в равен ство (1.2), получаем уравнение (1.5). Сопоставляя (1.5) и (1.126),
видим, что они будут совпадать |
при |
выполнении условий (1.7), |
(1.8) и |
|
|
х —, |
= |
nxsgnx, |
где /.,. (х) — амплитудная функция. Это выражение можно записать
f*M |
ф(0 |
• |
df* |
*Р |
™ ' J |
JA |
так: —; |
. т . — = п sgn х |
|
или —; |
г- = |
п sgn хах. |
Инте- |
f, (*) |
ф(0-«(0 |
|
/, |
Ф |
|
|
грируя и полагая произвольную постоянную равной нулю, находим
In /, — In ф = пх sgn л, |
откуда In |
= пх sgn х. |
Следовательно, |
/. |
(х) = ф (t) ехр (лл: sgn х). |
(1.127) |
|
Подставляя эту формулу в (1.7), получаем/,, (х) • / . (*) ехр (—2пх X
X sgn х) = R (х). Разделяя здесь переменные и интегрируя, имеем f-
—~ = ^ R(x) ехр (2пх sgn х) йх + С0,
откуда
1
Ъ (х) = [2 J R (х) ехр (2пх sgn х) dx + С]2 , С = 2С0 . (1.128) Полагая здесь С = 0, находим
/*(*) = [2 |
ехр (2пх sgn |
1 |
(1.129) |
2 . |
Принимая в формуле (1.128) / # (0) = |
0, т. е. выбирая начало коорди |
|||||||
нат в |
положении |
статистического равновесия, |
получаем |
С = |
||||
= 2^ |
/?(х) |
ехр (2пх sgn х) dx \х==о- |
Следовательно, |
выражение |
для |
|||
амплитудной |
функции |
принимает |
вид |
|
|
|
||
|
|
(л) |
= |
[2 J' R (и) ехр (2n« sgn х) du] 2 |
. |
(1.130) |
||
|
|
|
|
о" |
|
|
|
|
47
Полагая в формулах (1.129) и (1.130) п = 0, получаем выражение (1.21) и (1.22). Подставляя равенство (1.127) в условие (1.8), находим
г , . , |
F cos ш |
, |
v |
|
Н (г) ~ |
: |
ехр (пх • sgn х). |
|
|
Теперь уравнение (1.2) можно записать так:
2" (е) + г(е) = f cosm/ |
^ _ S g n ^ |
^1 131) |
Вследствие малости показателя степени пх, его допустимо заме нить кусочно-линейной функцией (рис. 42). Уравнение заменяющей
х |
ломаной линии |
имеет вид |
||
|
4Л |
• |
т |
, |
|
Т I / . |
1 |
Т |
+ |
|
+^ - ) ( - 1 ) Ж . |
(1.132) |
||
Рис. 42. Схема аппроксимации стацио нарных колебаний при турбулентном сопротивлении.
Здесь А — амплитуда стационар ных колебаний; Т — период ко лебаний; i— число полуперио дов колебаний. Замечая, что Т= = 2л/со, вводя обозначение
k = — nco .(1.133)
и используя формулу (1.132), а также |
равенство |
sgn х = |
(—1)'+ | , |
получаем |
|
|
|
пх sgnx^k t—^JL + |
Z-} = |
k(t-x), |
(1.134) |
где т не зависит от t.
Уравнение (1.131) с учетом приближенного равенства (1.134) при
нимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г"(Е ) + 2 ( 6 ) |
= |
F |
V( '-T) COSGrf. |
(1.135) |
|||
Подставляя |
сюда равенства (1.14) и (1.15), получаем |
|
||||||
|
»/ \ I |
/ \ |
F |
k |
( i r— х ) |
со |
е- |
|
|
г" (е) + |
г (е) = |
-д- е |
К |
cos~q~ |
|
||
Это уравнение аналогично (1.92). Следовательно, его частное реше ние можно получить по формуле (1.95), заменив соответственно по-
казатель степени: г (е) = а е vv в |
) |
cos ^-д— е — рj. Здесь амплитуда |
|
= ПО |
' I |
а и сдвиг фаз р могут быть определены по формулам (1.96) и (1.97) с заменой п на k
а = |
9F |
|
2/гсо |
(1.136) |
|
— со2 + 92 )2 |
+ 4й3со2 |
tfi — и2 + еа |
|||
Y (/г2 |
|
Возвращаясь к старым переменным в соответствии с заменами (1.3) и (1.15) и учитывая приближенное равенство (1.134), для стационар-
48
ных колебаний |
получаем |
выражение |
(х) = а exp (пх sgn х) х |
|
X cos (at—р). |
Полагая |
здесь |
|
|
|
х = А; cos(o)t — р) = 1; |
s g n x = l , |
(1.137) |
|
получаем уравнение амплитудно-частотной |
характеристики |
|
||
|
|
f*(A) = aenA. |
|
(1.138) |
Подставляя сюда первую формулу (1.136) и учитывая выражение (1.133), имеем
|
|
|
|
ар„пА |
|
|
МЛ) = |
± — р = = |
, |
, „ |
„ |
„ , |
• (1-139) |
|
1 / [ м 2 ( ^ - л 2 - 1 ) + е 2 Г + 1 б т ш 4 |
|
||||
Здесь перед радикалам следует взять оба знака. |
|
|||||
Значение f^{A) может |
быть |
определено |
по формулам (1.129) и |
|||
(1.130), если |
подставить в |
них |
равенства (1.137): |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f*(A) |
= |
|
[2^R(x).e2"xdx]xlA, |
(1.140) |
|
|
|
|
|
|
|
|
А_1_
|
|
/ * ( Л ) = = [ 2 | е 2 ' ш а д ^ ] 2 . |
|
|
|
|||||
Исследуем |
выражение |
(1.139) на экстремум. Продифференциро |
||||||||
вав его по со и положив dA/da |
= |
0, имеем |
|
|
|
|
||||
1 !ЛА) |
о>«( — л » —1) + 6» |
+ |
16 — |
|
со*] |
X |
||||
X 2 {[со2 ( - ^ - я 2 |
- l ) + |
82 ] 2со |
/г2 |
- |
l ) + |
64 |
|
со3} = 0. |
||
Это равенство удовлетворяется при условии |
|
|
|
|||||||
ffl2 |
- |
1) + 02] |
|
п* ~ 1) + 1 6 |
|
|
= °- |
<L141> |
||
Подставляя (1.141) в формулу |
(1.139), получаем |
уравнение кривой |
||||||||
|
|
|
|
|
FQeпА |
|
|
|
|
(1.142) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересечение которой с кривой (1.141) происходит в точке, являющей ся максимумом амплитудно-частотной характеристики.
В случае малых сопротивлений и малых амплитуд колебаний показатель степени 2пх будет мал и, следовательно, функцию е2"* при интегрировании можно считать приближенно постоянной. Это
4 4-5 |
49 |