Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Здесь

0

определяется

из

(1.64) и (1.63).

Построив

по

формулам

Рис. 32. Амплитудно-частотные характеристи­

(1.112)

и

(1.114)

амплитуд­

ки

упруго подвешенного проводника под то­

но-частотные характеристи­

ком

при вязком трении для различных

ки

для

у,

путем смеще-

F, см • сек~2.

ния

оси

на

величину

х0 =

У_

ЗР

получаем характеристики для х.

щий вязкое трение,

получаем

х - f 2пх + п2, ^— kr-\- (1 — К) х

^-х2 — j r x * \

~ ^cosco^,

где

kll

F = kil0l

л.

=

Допустим, что

= 1 се/с—2, К = 0,2, г = 10 см. Тогда по форму­

лам (1.70) — (1.71') вычисляем

=

0,82 сект2,

=

2,8 см • сект2,

В = —0,007 см~2 • сект-2, х0 =

3,3 см. Так как

>

0, уравнение

т а х ) Л ) , 8 2 - 0 , 0 0 7 Л а = - ^ - ±

BF

W —

со2 + б2)2 + 4л2ш2

min

0

Амплитудные кривые,

построенные

по этой

формуле при п —

По формуле

(1.113)

нахо­

1

mini'

дим зависимость

между

экс­

№

у'

-г

тремальными значениями ам­

плитуд

и коэффициентом

за­

тухания:

("F ^тах)э X

min

X Л[0,82-0,007

(Лт а х)э

=

\ V

Г

%8

min

^

= - 5 - =Ь -

(длях)

е

2и

Построенные по этой формуле

кривые приведены на рис. 33.

п.сен

Рассмотрим

уравнение

(1.107) при а* =

1 ш г - 2 , р

=

(дляу)

= 1 см.—2 • сек—2, б„. = 1 смх

X сект2,

п = 0,5

сек~1.

Ам­

плитудно-частотные

характе­

2/

ристики, построенные1 по фор­

-4

муле (1.112), представлены на

рис. 34.

Штриховыми линия­

ми изображены

неустойчивые

(нереализуемые) решения. При

Рис. 33. Зависимость экстремальных зна­

знаке «минуо> в

левой

части

формулы (1.112) получены ам­

чений амплитуд колебаний упруго под­

вешенного проводника под током от коэф­

плитудно-частотные

характе­

фициента

затухания

при вязком трении

ристики

для наибольших ам­

для различных F, см • сек.—2

плитуд

колебаний

Л т а х ,

при

знаке «плюс»

характеристики для

наименьших амплитуд

коле-

баний

Amin.

хар актер истики уравнения

(1.107)

при

а ,

Амплитудно-частотные

= — 0,42 сек-2,

р = 0,005 смт2 • сект2, F

0,5 см • сек~2,

8„. =

=

2 см - сек—2, п — 0,03

се/с- 1 , построенные5

по формуле (1.114),

2

4

6 0

Z

4

о,с

a

S

Рис. 34. Амплитудно-частотные

характеристики

несимметричной

системы

При ВЯЗКОМ трении: а — F = 1 см

• сек.—2;

6 — F =

2 см • сек~2.

1.2 Результаты получены В. 3.

Крыжановской.

максимальным

амплитудам колебаний,

кружки — минимальным.

Как видно из этих рисун-

А.сн

AMDX

ков, аналитические

решения

достаточно хорошо

соответ­

10)

ствуют

машинным.

Характеристики с разрыва­

ми и

люфтами. Рассмотрим

P.S 0.3

1.0

1,2

1.4

а, сен"

стационарные колебания

при

Рис. 35. Амплитудные

кривые

несиммет­

вязком

трении

массы на двух

ричных колебаний.

предварительно

сжатых

ли­

V(280+aA)A

= ±-

QF

(1.115)

/ ( л 2 — со2 +

G2 )2 4- 4rt2G'-

0,8

1.6 а.сек'

0.1

0.2 п.сен'

Рис. 36. Амплитудно-частотные харак­

Рис. 37.

Зависимость

амплитуд

теристики

осциллятора с

предвари­

колебаний осциллятора с предва­

тельно сжатыми

линейными

пружина­

рительно

сжатыми

линейными

ми при вязком трении:

пружинами от коэффициента за­

F = 2

см

„—2. О

1,4 смХ

тухания при вязком трении для

X сек'.—2

различных F, см • сек~2.

1/(2б0 + а Л т а х ) Л т а х = - ^ - .

(U16)

0,05

0,10

0,1S

0,20 п.сен

Рис.

38.

Амплитудно-частотные

ха­

Рис. 39. Зависимость

амплитуд колеба­

рактеристики

осциллятора с предва­

ний осциллятора с предварительно сжа­

рительно

сжатыми нелинейными

пру­

тыми нелинейными пружинами от коэф­

жинами при вязком трении:

фициента затухания при вязком трении

• —

F =

0,5 см

• сек—2; О — ^=0,25 см X

для различных F,

см •

сек~2.

X

сек~2.

1 / 2 6 И

+

од»'-!- 4- уА*+4-

м 4 = ±

г

• QF

•

V

°

3 Г

2 ^

_ Ш2+

Qiyi _|_ 4nlQ-i

Здесь 0

определяется путем подбора

по формулам

(1.78) и (1.79).

Подставляя выражение

(1.76) в формулу

(1.101), получаем зави­

ния:

^ / Г 2 б 0 Л т а х

4" а Л т а х -|

2~yAmax

-\—2~$Amax

=

•

На рис. 38 изображены амплитудно-частотные характеристики

для а =

1 сект2;

6„ =

0,074

см

• сект2; у = 1

см • сек~2; В =

= 1 см—2

• сект2;

п =

0,12 сект2.

Здесь

же приведены

результаты

для

F = 0,5 см • сект2 лучше, чем

для F =

0,25 см • сект2. На

рис. 39 приведена зависимость Л т а х

от п.

1

Здесь и в дальнейшем представлены

результаты,

полученные Л. В. Велик

и А. С. Третьяковой.

х + 2пхх

+ R (х) = F cos at

при — а0

> х > а0;

^

j j ^

х + 2п2х

= F cos at

при — а0

<; х •< а0 .

Будем считать, что коэффициенты затуханий при — а0

> х > а„

и — OQ •< х •< а0 различны. Сначала

рассмотрим случай

движения

в пределах люфта

(—а0 •< х <; а0). Второе уравнение (1.117)

явля­

ется линейным. Поэтому полное решение его

можно представить

как

сумму:

х = х1 + х2,

(1.118)

где

хг — общее решение

однородного

уравнения к\ +

20.^

= 0.

Решение этого уравнения

известно:

Х у

= Вхе-2п'1

+ Dv

(1.119)

Здесь Вг

и D1 — произвольные постоянные, определяемые из на­

чальных

условий.

Частное решение будем

искать в виде

х% — Вt

cos at +

D 2

sin at.

(1.120)

_F

,

£

2nJ>

ш2

-

4л2 '

2

~

со (со2 — 4п%)

Подставляя

(1.119) и (1.120) в равенство (1.118), получаем

х = B1e~2n,t

+ D1+B2

cos at + D2 sin at.

(1.122)

Дифференцируя это выражение по времени и используя

начальные

условия t =

0,

х = 0,

х = 0,

находим

^

=

- ^ - D ^

со2

/ д 2

;

D1 = - B 1

- B

2

= 0.

т2

— 4лд

Заметим, что если положить здесь и в (1.122) щ =

0, то придем к

решению, полученному

в § 1 данной главы.

Представим

решение

(1.122) в виде

где

х = B1e~2n,t

+ a cos (со* — р),

(1.123)

„

1 / R 2

i n 2

f У со2

+ 4л1

О

=

2л2

—.

а =

K ^

2 + D 2 =

— — — 2 —

;tgp =-f-

со (со2

— 4ng)

°2

ш