Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

позволяет упростить формулы (1.140) к виду

Здесь использованы обозначения (1.21) и (1.22). Подставляя выраже­ ние (1.143) в формулу (1.138) и учитывая первое равенство (1.136), получаем уравнение (1.99), если п заменить на k. В случае колебаний с малыми амплитудами при малых сопротивлениях (пА <^ 1) условие (1.141) приближенно можно записать так:

пересечение которой с кривой (1.144) приближенно дает максимум амплитудно-частотной характеристики. Заметим, что для An <^ 1 кривая (1.144) близка с скелетной кривой.

Простые характеристики. Рассмотрим стационарные колебания в случае линейной характеристики. Они описываются частным реше­

Подставляя это выражение в равенство (1.139), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

±У^[е™{2пА-1)+Ц =

Здесь значение 9, как известно [7, 13], может быть определено по формуле

e - y ^ ( i - 3 i * L n M » ) .

Менее точное уравнение амплитудно-частотных характеристик по­ лучаем, используя приближенные равенства (1.143), где в соответ-

А

ствии с формулами (1.21) и (1.22) f(A) = [2 ] awdu] = А У~а. Под-

о

1 К этому же результату приводит и первая формула (1.140).

50

где 0 можно определить по формуле

в = | / " - f [ 1 - 2n2 - -L (1 - 1 In") (sin А ) "

Если положим здесь я = 0, то получим выражение (1.28). Прибли­ женное уравнение амплитудных кривых получаем, используя равен­ ство (1.27):

QF

Рассмотрим колебания осциллятора с кубической характеристи­

уравнения (1.146). Подставляя (1.148) в (1.139), находим уравнение амплитудно-частотной характеристики, которое оказывается весьма громоздким. Его можно упростить (за счет точности), если восполь­ зоваться равенством (1.32). Имеем

(1.149)

Здесь 0, как известно 113], можно определить по формуле

e - V ^ [ i + - T - ( 3 i r - 2 п \ -

При п = 0 это выражение превращается в известную [13, 35, 57, 69] формулу Дуффинга

которая несколько уступает в точности выражению (1.33). Формулой (1.150) можно также пользоваться при условии 2гС- <^

<^3р7а. Если в (1.150) положить 0 = со и разрешить относительно

1 К этому же результату приводит использование "первой формулы (1.140).

62

амплитуды, то получаем уравнение скелетной кривой в виде

Предполагается, что член в скобках формулы (1.150) мал по сравне­ нию с единицей.

Возводя это выражение в квадрат и используя формулу (1.150), приближенно имеем

Для оценки точности полученных результатов сопоставим их с дан­ ными расчетов, проведенных одним из классических методов [60]. Исследования [18] приводят к следующим результатам.

Уравнение скелетной кривой

Амплитудные кривые, построенные по формулам (1.149) и (1.154)

но признать удовлетворительным.

На рис. 45 показано сопоставление амплитудно-частотной харак­ теристики, построенной по формуле (1.149), с данными решения на ЭЦВМ «Урал-3», представленными точками. Как видно из рисунка, совпадение аналитических и машинных решений удовлетворительно.

Сложные характеристики. Рассмотрим стационарные колебания

нение амплитудно-частотных характеристик для больших колеба­ ний, т. е. когда выполняется условие (1.39):

QF

(1.156)

63

Здесь 0, как известно [13, 32], определяется по формуле

Подставляя выражения (1.45) и (1.143) в формулу (1.139), полу­ чаем уравнение амплитудно-частотной характеристики для малых

а,сек

колебаний, т. е. когда выполняется условие (1.38):

(1.158) Здесь, аналогично изложенному выше, 0 можно определить по фор­

54