Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

—■ = а + 0 (1) (я —»оо).

( 1. 12)

У, (1+

X )

(1+ X * )... (1+ х " )

{х > 0).

Здесь

п—1

л +

()

при 0 <

JC<

1, я —»оо,

0

1

ап-II

1 +

х

2

при х = \ ,

ап

х п+{

при л: >

1, я —»оо.

0 ( 1)

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Если в

(1.12)

а =

1,

то

для

исследования

сходимости

ряда (А) естественно

рассмотреть

следующий

член в разло­

жении

(1.12).

1.

Пусть

для

положительного

ряда

(А)

Пр и з н а к

выполняется условие

-д”-+' • = 1 +

<р(я)(1 + 0 (1 ))

(я —►оо),

где

О-п

<р(я) = 0(1),

—

------------1

—

= а

+ 0(1)

(я

►оо). 1

?(п)

?(п — 1)

Если

последовательность

ср(я) < 0,

начиная

с

я > N

и

а +

1 > 0,

то

ряд (А) сходится;

если же а + 1 < 0 и ряд

X У(а) расходится, то и ряд

(А) расходится.

п=1

Справедливость этого

утверждения следует

из признака

Куммера при

сп= ---- ^ ——, так как в этом

случае

R„ = c„ - с пЛЛ

=

1 + а + 0(1)

(я —оо)

а п

и

при

а + 1 > 0

ряд

(А)

сходится,

а

при

а + 1 < 0

и

при

1 = 0,

с„ = --------- -------,

где

Ь,

/. — постоянные

пара-

? (Я 4- О

метры, для которых

----- ^»±»------------- -----> 0

(п>т).

<? (я Н- 1 + л) ап

<f (л + I)

Пример.

Для ряда

оо

5 ( а- ) =

___________ я!__________

(А > 0)

V

1) (х +

2)... (х +

л)

(х +

находим

«-1

-ft"И-t1? х

= 1 - — (1+0(1))

( п —>оо),

?

, V

X

1

1

(л)

=

--------

9 (п)

(я — 1)

п

9

По

признак}'

1

при а >

1 ряд сходится и при

0 < а <

1 ряд

расходится.

\

х последовательность

При сп = п

Rn = сп - с,л -fl

= п

4- X — (п +

1 + а )

п +

1

= X

Я ~f* 1

X

5 (а ) =

(схаі — lim спап) = —— - (а > 1 ) .

IX

X — I

В частных случаях при

<р(п) = — —— и ? (п) =

полу­

чаем следующие признаки

сходимости.

(Л) вы­

П р и з н а к

И. Пусть для положительного ряда

полняется

1 +

Лд+L =

£± 1111

(л _ ю о).

ап

п 1л п

Если,

с < 0, а < 0,

то

ряд

(Л)

сходится-, если

же

с > 0,

а— любое

число или

а > 0,

с — любое

число,

то

ряд (Л)

расходится.

ряда

определяется

неравенствами (1.4)

Оценка

остатка

при

1 — 0,

сп = (п + а) In'1(п + Ь),

а,

Ь— некоторые

постоян­

ные

числа.

Ряд

Пример.

оо

у і

____________ п!____________

ІА

(1 -I- In 2)... (л +

ln (л +

1))

Пт\

сходится

по признаку II,

так как

ап+1

____ п + I_____ __ ] _

in п (1+0(1))

(п

со),

сіп

я -f- 1 -Ь ln (л -f- 2)

т. е.

с = а =

— 1 < 0.

положительного

ряда

Пр и з на к

III.

Пусть

для

(Л)

имеет место

M±Ll

= 1

+

С+ 0(1)

(П-> оо).

ап

па

Если а < 1, с < 0 или а =

1,

с +

1 < 0,

то ряд

(Л) сходится.

Ряд

(Л)

расходится

водном,

из

трех

случаев:

1)

с > 0,

а — любое имело,

2)

с +

1 > 0,

а = 1 ,

3) с — любое

число

a > 1.

Оценку остатка ряда можно

получить

из формулы

(1.4)

при

1 = 0, с„ — (п + X)*,

X— некоторое

постоянное

число.

Пример.

Ряд

У Г

1

сходится

по признаку III,

так как

а П 4-1

1 +

0 0 )

(п—>оо),

т. е.

а = с

2

'

йп

2 У~п

ап+1 _ 1 _ _ L + _ ! < £ ) _ ( ! + 0 ( 1 ) ) ( я - с о ) ,

ап

я

л

_1_

1

а + 0(1)

(п —>оо).

<Р(л)

у(п —1)

л

Ряд (А) сходится,

если

ф(п) < 0

начиная

с некоторого

п > N,

а + 1 > 0,

и расходится,

если а +

1 < 0 и расхо-

оо

дится

ряд ^ J

.

К

1П-И

а + 1 +0(1) (я—>оо).

С п Сп + \' а,

Следовательно

ряд

(Л)

сходится,

если

а + 1 > 0.

Ряд (Л)

оо

расходится,

если а.+ 1 < 0 и расходится ряд

Ж“1 О(fl)

V —-— .

Для оценки остатка

ряда (Л)

л - 1

следует в неравенствах (1.4)

принять 1 — 0

и сп =

f l "4"

?

Ь— некоторые посто-

------ ^

янные числа.

<?(п + Ь)

V. Пусть

П р и з н а к

ая+1 __ 1 _

к

1

+ -гѵ т(1

+ 0(1)),

ап

ІА

К (")

h («)

ѵ*=0

1

1

* ± М 1 (л —оо),

где

9 (я)

? (п — 1)

>■*(”)

>.ѵ(а) = п In п ... In ... ln н,

/0(п) =

п.

Тогда

ряд

оо

сходится,

п > /V и

51 ап

есяя

<р(/г) < 0

для

п—Х

а + 1 > 0. Ряд

51 ал

расходится,

если

а +

1 < 0

я расхо-

дится ряд

П—1

У ]

7 7 Т

( іп ... тin > о).

i d

h ( n

Признак V

л—m

: («)

помощью

признака

Куммера

доказывается с

при

^ (я —1)

с ,=

-

9

(я —

1)

В частном случае при k = 0 он

содержит признак IV.

При <$>(п) ——-— признак IV дает

Ія п

Пр и з н а к

VI. Пусть

- 2 а ± =

1

J - +

С.±-°Ш..- (д

оо).

ап

п

я In* я

Если 0 < а <

1, с < 0

или а — 1, с +

то ряд

ОО

1 < 0,

51 а п сх0_

оо

я=1

дится,

если

же а =

1, с +

1 > 0, то

ряд 51 ап расходится.

Остаток

ряда

£

ап

оценивается с

помощью (1.4) при

Я=1

X,

b — некоторые

постоянные

/ = 0 и сп= (п + X) ln“ (п + b),

числа.

1. Для

ряда

Приме р

со

^ - ^ - е х р ( — 1 Inп)

имеем

*п-н

1 +0(1)2

1

(п —►со).

2п 1/Л1п п

По признаку VI ряд сходится, так как

a = i ,

с= — .

Пр и ме р

2.

Исследуем

сходимость

ряда

со

1

VI

п=2

О

+ 1) hv' п

Используя

преобразование

ln1(п +

1) == ІПХ[д

=

[ln п + ln ^l +

ln« + -i-+ o(-^-)Jx=

lnx n+ - J (ln/i)X_1(l +0(1)) (я— со),

Находим

a,i+i

О + 1)1+ n

= Л _

1 -I 0( t ) \

л _

X+ 0 ( 1 ) \

0+2)1+ (n+1)

\

n

J

\

n Inn J

=

1

J___ X + 0(1)

(ll —>со).

n

n ln n

Е / ( я )

(1.13)

л=г/г

сходится,

сОя

некоторой отрицательной

и диффе­

ренцируемой при X >■ т функции F (х)

іп{

[п т

І 1 Ь ± &

= / ? > 0.

o<e<iL^^

/(я)